Interversion Integrale/Somme !

Oui c'est vrai que c'est très bizarre comme raisonnement...cela dit, il existe un théorème sur la permutation entre les signes $\int$ et $\sum$...je pense qu'il suffit de trouver un bon pdf de L3 en Intégration sur le net ou de jetter un oeil dans un bouquin (genre le Wagschal peut-être)...voilà
bon courage ;-)

Dans (le groupe topologique) $\mathbf R^{\mathbf R}$ (topologie de la convergence simple (c.a.d. topologie produit)), j'aurais tendance à penser que toute famille de la forme $(a_x 1_{\{x\}})_{x\in\mathbf R}$ est sommable (et a pour somme la fonction $x\mapsto a_x$).

C'est dans un groupe topologique où tout point a une base de voisinages dénombrable qu'on peut montrer que toute famille sommable a un support dénombrable

D'accord, j'y réfléchis

Bonjour.

A priori, c'est surtout pour suivre le débat. Mais je doute qu'on puisse intervertir somme et intégrale avec seulement de la convergence simple.
D'autre part, la notion de famille sommable exige qu'en prenant une partie finie, le "reste" soit "aussi petit que l'on veut". je ne vois pas quel type de convergence (autre que la convergence simple) pourrait réaliser cela.

Evidemment, l'égalité est fausse, puisqu'avec la fonction 1 sur [a,b], le début vaut b-a et la fin 0. J'imagine que Pablo cherche, lui aussi où est la faille.

Cordialement

Pablo , il doit y avoir une faute de frappe quand tu dis "Est ce que tu peux m'expliquer pourquoi en général $\sum_{x \in I}^{} a_x$, n'a de sens que si les termes sont tous nuls sauf un nombre au plus indénombrable", ca doit etre dénombrable le dernier mot.

Quand à te l'expliquer je vais laisser aléa le faire puisque c'est apparemment un spécialiste et surtout que j'en suis incapable

Tout ce que je peux dire c'est que c'est un résultat important sur les familles sommables : en gros si on avait une infinité non-dénombrable de $a_x$ non nuls (disons strictement positifs pour simplifier), ta somme ne pourrait etre à valeur dans $[0,+\infty[$. Bon c'est juste une paraphrase du résultat annoncé et quelqu'un te le prouvera ou expliquera mieux que moi

Bon, juste quelques mots sur la théorie des familles sommables.
Je vais parler d'abord de sommes dans $\R_+$.
Tu as une famille de nombres positifs $(a_x)_{x\in X}$ et tu cherches a donner un sens à $\sum_{x\in X} a_x$.
Au départ, tu ne sais faire que des sommes avec un nombre fini de termes, donc ce qui parait naturel, c'est de considérer le $\sup$, sur toutes les parties finies $Y\subset X$, de $\sum_{x\in Y} a_x$.
Tu vas dire que la famille est sommable si le sup est finie, et par définition, la somme $\sum_{x\in X} a_x$, c'est ce sup.

Maintenant, suppose que cette famille est sommable, avec pour somme $M$
et note $A_n=\{x;a_x>1/n\}$.
Soit $Y$ fini avec $Y\subset A_n$; je note $|Y|$ son cardinal: on a
$M\ge \sum_{x\in Y} a_x\ge |Y|/n$, donc $|Y|\le nM$. Par suite $|A_n|\le nM$.
Il s'ensuit que $\cup_{n>0} A_n$ est dénombrable, car c'est une réunion dénombrable d'ensembles finis. Or $\cup_{n>0} A_n$ est dénombrable est précisément l'ensemble des $x$ tels que $a_x\ne 0$, donc l'ensemble des $x$ tels que $a_x>0$ est au plus dénombrable.

Ensuite, bien sûr, on a envie de sommer autre chose que des nombres positifs.
Mais on a envie que les choses "se passent bien", au sens que si je regroupe les $a_x$ par petits paquets, que je fais la somme de chaque petit paquet puis la somme des sommes, je veux que la somme des sommes soit toujours la même.
Or, lorsqu'on est dans un espace "raisonnable" (on va dire $\R^n$ pour être simple), on se rend compte que pour que les choses se passent bien, il est nécessaire que la famille des normes soit elle mêmes sommable pour que les choses se passent bien, ce qui nous ramène au cas précédent.

L'intérêt des familles sommables, c'est que les éléments de ta somme jouent des rôles symétriques: il n'y a pas d'ordre des termes, ce qui en fait des choses très stables par rapport aux choses qu'on leur fait subir.

Un exemple simple et très connu: on sait bien que
$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2$.
En réalité, ce n'est pas une somme symétrique, mais une limite:
$\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2$.
Il est possible de démontrer (ce n'est pas très difficile) que pour tout
$x$ réel, il existe une permulation de $\mathbb{N}^*$ telle que
$x=\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{\sigma(n)+1}}{\sigma(n)}$.

Tout cela parce que la famille n'est pas sommable, en effet la série des valeurs absolues diverge, c'est bien connu (série harmonique).
(On obtiendrait le même résultat pour toute série semi-convergente).

Tout cela nous emmène très loin de la question initiale, je m'en excuse...

Il s'agit d'une faute de frappe: il faut lire $\sum_{x\in Y} a_x$: on fait la somme des $a_x$ pour tous les indices $x$ qui sont dans $Y$. C'est une somme classique puisque $Y$ est fini.

Non, $X$ est infini (enfin il peut être fini mais alors ce n'est pas très intéressant), c'est pour ça qu'on cherche à donner un sens à $\sum_{x\in X} a_x$.

ryo > j'ignorais que le résultat était dû à Riemann. Merci de me l'apprendre.
Sinon, pour la petite histoire, je n'ai pas lu pour la première fois ce résultat dans Francinou-Gianella-Nicolas, mais dans Polyà-Szegö (*); c'est à ce genre de petits détails qu'on voit qu'on prend de l'âge

(*) Pour être tout à fait honnête, ce résultat marquant nous avait été énoncé par mon prof de taupe, l'excellent Jean Voedts.

Pour faire court, pour utiliser un théorème d'inversion limite/intégrale, quel qu'il soit, il faudrait réécrire cette somme infinie comme une limite de sommes finies, ce qui revient à énumérer R, ce qui est bien sûr impossible.

Bonsoir Aléa,

Viens tout juste de rentrer. Je comprends mieux à présent. Si $X$ est infini, ça change effectivement tout.

Cordialement,
Clotho