Espace Probabilisable et probabilité

Bonjour,

Si $\Omega$ est infini dénombrable, $\Omega=\{x_1,\dots,x_n,\dots\}$ muni de la tribu grossière alors tu peux mettre la probabilité $P(x_i)=a_i$, où la suite $(a_i)$ est une suite de nombres positifs dont la somme vaut un.

S'il est infini non dénombrable, tu peux mettre une mesure du même genre qui ne va charger qu'une partie dénombrable de $\Omega$, mais ça n'est pas très intéressant. Si tu veux une proba qui charge tous les ouverts par exemple, en supposant qu'il y ait une topologie sur $\Omega$, je pense que c'est assez compliqué à définir.

Cher Alea.

Soit A un élément la tribu.
On note P : X dans la tribu --> 1 si A inter X non vide et 0 sinon.
P n'est malheureusement pas toujours une probabilité.

Supposons que A contienne une partie propre et non vide B elle-même élément de la tribu.
Alors B\A est une partie propre non vide de A et est élément de la tribu.
On a alors P(B) = P(B\A) = 1.
Si P était une probabilité, alors on aurait P(A) = 2.
P n'est pas une probabilité.

Supposons que A, non vide, ne contienne AUCUNE partie propre non vide élément de la tribu.
Soit une famille 2 à 2 disj. (Xn), ARBITRAIRE, de la tribu.
Pour tout n, (Xn inter A) = A ou vide.
Il existe AU PLUS un Xn contenant A, les autres Xn étant DISJOINTS de A.
CAS 1. La réunion des Xn est disjointe de A <=> tout Xn est disjoint de A.
CAS 2. La réunion des Xn n'est pas disjointe de A <=> il existe un unique Xn NON disjoint de A.
CAS 1. P(réunion des Xn) = 0 = Somme des 0 = Somme des P(Xn).
CAS 2. P(réunion des Xn) = 1 = 1 + somme des 0 = P(Xn UNIQUE tel que Xn NON disjoint de A) + Somme des tous les autres P(Xn).
P(Oméga) = 1.
P est bien une probabilité.

Bref, P, définie par : X dans la tribu --> 1 si A inter X non vide et 0 sinon, est une PROBABILITE
<=> A est non vide et A ne contient aucune partie propre non vide élément de la tribu.

QUESTION
A est-il alors ce que l'on appelle un "atome" de la tribu ?
Attention, je n'ai pas parlé d'atome d'une mesure (ou d'un espace mesuré), mais juste d'un atome d'une tribu (ou d'un espace mesurable).

Très cordialement.

aléa, je commence à avoir beaucouop de mal à suivre cette discussion, mais je pense que ça marche pas ton truc, si on prend $\Omega=\{0,1\}$, alors

$\mathbf{P}(\{0,1\})=1\neq 0= P(0)+P(1)$.

Cher Alpha-Beta.

Je vais jouer à l'andouille qui se contente de mettre en ordre les arguments exhibés par d'autres, en l'occurence Gérard et Lucas, auxquels j'adresse mes salutations et mes remerciements les plus sincères.


Tout d'abord, Gérard met en place un argument fondamental : il ramène le problème au cas où la tribu vaut P(Oméga), soit la "tribu grossière", pour reprendre l'expression de Lucas.
Gérard constate que la restriction d'une probabilité sur P(Oméga) à une tribu quelconque de Oméga y induit une nouvelle probabilité.

Le problème est donc ramené à l'espace mesurable "grossier" sur Oméga, soit (Oméga ; P(Oméga)).


Le cas élémentaire "Omega au plus dénombrable" est ensuite traité dans TOUTE sa généralité par Lucas.
Lorsque Oméga est au plus dénombrable, la donnée d'une probabilité P sur P(Oméga) est EQUIVALENTE à la donnée d'une application p de Oméga dans R+ telle que la somme de TOUS les p(x), x décrivant Oméga, vale 1.
Plus précisément, il y a correspondance BIUNIVOQUE ("bijection") entre les probabilités P et ces applications p, avec les flèches ci-dessous :
P --> ( p : x --> P({x}) ET p --> (P : X --> Somme des p(x) lorsque x décrit X).


Lorsque Oméga est plus que dénombrable, cette méthode a du plomb dans l'aile.
En effet, p est définie par : p(x) positif pour tout x de Oméga ET la somme de TOUS ces p(x), x décrivant Oméga, vaut 1.
Mais quel sens donner à une somme plus que dénombrable ?

Certains auteurs définissent une telle somme pour une famille à support (au plus) dénombrable.
Dans le cas où I = {x dans Oméga tel que p(x) > 0} est au plus dénombrable, on définit alors la somme des p(x) sur Oméga comme étant la somme des p(x) sur I.
On convient implicitement que la somme QUELCONQUE (y compris plus que dénombrable) de termes NULS est elle-même NULLE.

De sorte que, pour tout X, la somme des p(x) sur les x décrivant X est en fait celle sur les x décrivant X inter I, une partie de I.
On est ainsi ramené à une probabilité d'univers I au plus dénombrable, avec, pour tout X disjoint de I, P(X) = 0.

Donc, dans le cas où Oméga est plus que dénombrable, on considère une partie ARBITRAIRE I (au plus) dénombrable de Oméga PUIS on construit une application p ARBITRAIRE sur I vérifiant les conditions voulues.
C'est exactement ce que constate Lucas.

Et Lucas rajoute que ce n'est pas très intéressant.
En effet, intéressons-nous à la mesure de Lebesgue sur Oméga = [O ; 1], qui est une probabilité P sur P(Oméga).
La fonction p : x --> m({x}) est alors NULLE, donc de support vide, donc au plus dénombrable.
La somme des p(x) est alors NULLE, donc DISTINCTE de 1.


Gérard exhibe un autre exemple pour éviter toutes ces manipulations.
Effectivement, le problème posé est de construire AU MOINS UNE probabilité.
Il prend un élément x de Oméga, supposé alors implicitement non vide, et il définit P : X de P(Oméga) --> 1 si x est dans X et 0 sinon.
P est-elle une probabilité ?
Il est clair que P(Oméga) = 1.
La continuité monotone, i.e. Xn croît vers X => P(Xn) tend vers P(X), est facile.
Il reste l'additivité simple qui, par récurrence, se ramène au cas de DEUX éléments de P(Oméga).

Bref, X et Y DISJOINTS, a-t-on P(X U Y) = P(X) + P(Y) ?
OUI, car il est IMPOSSIBLE que X et Y contiennent x SIMULTANEMENT, de par leur disjonction.

Mais imaginons un autre exemple plus tordu : soient x et y deux éléments DISTINCTS de Oméga (on suppose implicitement qu'Oméga n'est ni vide ni singleton).
Quid de P : X de P(Oméga) --> 1 si X inter {x ; y} non vide et 0 sinon ?
CE N'EST PAS UNE PROBABILITE sur P(Oméga) !
En effet, P({x}) = P({y}) = 1 et, si P était une probabilité, alors P({x ; y}) = 1+1 = 2 !

Pourquoi cette digression ?
Car c'est exactement la difficulté rencontrée par Alea dans son exemple malheureusement faux.
Alea a voulu rester dans la tribu donnée au départ, sans se ramener à P(Oméga) quitte à restreindre après coup, comme le préconise Gérard.
Seulement, rien n'affirme que la tribu de départ contienne un singleton ...

En fait, comme je l'ai montré dans mon précédent post, si l'on tient à rester dans la tribu de départ, il n'est pas nécessaire de trouver un singleton, mais il est nécessaire (et suffisant) de trouver un élément de la tribu qui soit "insécable" dans cette tribu.
QUESTIONS.
1) Peut-on parler dans ce cas d'atome de la tribu (à ne pas confondre avec un atome d'une mesure) ?
2) Toute tribu a-t-elle un atome ? Sinon lesquelles en ont-elles ?


Que l'on m'excuse de tout ce "bavardage", mais le sujet est passionnant, même s'il est élémentaire à partir du niveau L3.

Tous mes remerciements à Alpha-Beta, Gérard, Lucas et Alea qui ont ainsi égayé mon après-midi.
Salutations à tous.

Cher KB,

Je viens de faire à peu près le même chemin que toi et j'allais écrire la même chose en moins bien (car moins détaillé).
On a séché beaucoup plus que de raison, mais nous nous sommes bien amusés !

Amicalement,

Ouh là là, je pense pas que mes deux interventions méritent tant d'égard... Merci quand même KB!

C'est excellent, quand la personne qui a posé la question va revenir et qu'elle va voir tout ça !!! Elle va se dire "vive ce forum !!!" hihi

A propos, une contrepèterie avec Dirac.

"Bernadette apprécie le char de Dirac."

Le prénom féminin est un gros indice ...

Cher Alpha-Beta, permets-moi d'amender quelques peu ta conclusion.


Dans le cas où Oméga est au plus dénombrable, Lucas trouve TOUTES les probabilités possibles sur P(Oméga) et Gérard indique que l'on peut alors les restreindre à n'importe quelle tribu.

Par contre, dans le cas au plus dénombrable, on n'a pas cherché toutes les probabilités pour une tribu donnée, sauf P(Oméga).


Dans le cas où Oméga est plus que dénombrable, ON A RENONCE à chercher TOUTES les probabilités sur P(Oméga) ou même sur une tribu plus petite.
On s'est contenté de prouver l'EXISTENCE d'une probabilité pour une tribu donnée, de deux manières différentes.

1) On trouve une partie dénombrable I de Oméga.
Lucas donne alors une mesure sur P(I).
Puis Lucas l'étend à P(Oméga) en fixant une probabilité nulle à toute partie de Oméga disjointe de I.
Enfin Gérard restreint cette probabilité à une tribu donnée.

2) Autre méthode. On se donne un point x quelconque dans Oméga et une tribu quelconque T. On ne suppose rien de spécial entre x et T.
Gérard constate que l'application qui à tout A de T associe 1 si x est dans A et 0 sinon est bien une probabilité sur T.

Très cordialement.

(excellente KB ta contrepétrie...mais c'est bien connu, les matheux savent faire converger leur somme...;)
ne faites pas attention à ce message lOl)

J'aimerai que vous essayez de m'expliquer clairement a travers un exemple explicite sur l'espace probabilisable et probabilite

Bon apparemment, un fil long pour une question précise, mais il y a une ambiguité: veut-on une probabilité sigma additive ou non? Veut-on une probabilité quelconque ou ayant un tête de proba un peu excitante?

1) N'importe quelle fonction caractéristique de n'importe quelle ultrafiltre principal est une probabilité sigmadditive (et même "à volonté"-additive)

2) Si l'univers E est infini, et qu'on veut une probabilité un minimum stylée qui envoie les singletons sur 0, soit F l'ensemble des parties finies de E. Soit W un ultrafiltre sur F tel que pour tout $x\in E$ l'ensemble des $G\in F$ tels que $x\in G$ est un élément de W. P: $X\subseteq E\mapsto $ la limite de l'ultrafiltre image de W par la fonction $G\in F\mapsto card(X\cap G)/card(G)$. P est une probabilité sur $(E,P(E))$ qui a "une bonne tête" mais qui n'a aucune raison d'être sigma-additive.

3) Il n'y a pas forcément de probabilités sigma-additives sur $(E,P(E))$ qui ont "une bonne tête". Par exemple, si $E$ est dénombrable, il ne peut pas y en avoir qui envoie chaque singleton sur 0.