cercles et droite

JFS
JFS
dans Les-mathématiques
Bonjour,

On se donne dans le plan une droite D et un cercle C.

Le lieu des centres des cercles tangents à D et C est une parabole, celui des cercles tangents à C et orthogonaux à D (et orthogonaux à D et C) la droite D.

Mais quel est le lieu des centres des cercles tangents à D et orthogonaux à C ?

Utiliser des inversions ne n’a pas mené à grand chose.

Réponses

  • JFS
    JFS
    Je remonte ce post qui n'a pas suscité l'enthousiasme des géomètres de ce forum.

    Ce problème est-il donc si ardu ?
  • GG
    GG
    salut,
    On prend D pour axe des x, O pied sur D du centre K de C de rayon R, OK = a, OK pour axe des y.

    x2 + (a-y)2 = R2 + y2

    y = (x2+a2-R2)/2a

    C'est donc une parabole d'axe y.
  • JFS
    JFS
    Merci pour cette solution qui devrait m'aider à en trouver une géométrique.
  • GG
    GG
    en posant h = R2/(2a) et en considérant le point F(0,a-h) et la droite E d'équation y = -h, le lieu cherché est la parabole de direction E et de foyer F puisque l'équation de celle-ci est

    x2 +(a-h-y)2 = (y+h)2
    soit
    x2 + a2 -R2 = 2ay

    mais je n'arrive pas à le montrer géométriquement.

    Autrement dit, il s'agit de montrer que pour une parabole P de directrice E et de foyer F dont la distance à E est g, la translation de direction perpendiculaire à E d'une valeur h amène E en D et F en K et les cercles centrés sur P et tangents à D sont orthogonaux au cercle de centre K et de rayon R avec R2 = 2gh.
  • GG
    GG
    en effet, soit C le cercle centré en K de rayon R avec R2 = 2hg, et A le cercle centré en F de rayon h. Soit également G un cercle de centre Q, de rayon x, orthogonal à C et tangent à D. L'inversion de centre K et de puissance R2 laisse C invariant, donc tangent à l'image de D, soit le cercle A.

    Ainsi QF = h + x, et Q est sur la parabole P.

    P.S. Bruno, où es-tu ? Tes lumières nous manquent :)
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