Propriété, proposition, théorème

La question a déjà été traitée, débattue et trollée sur ce phorum, il me semble. En gros :
Proposition == phrase vraie, ou phrase.
Théorème == proposition vraie, ou proposition vraie et importante.
Propriété == qualificatif donné à un objet, ou alors proposition.

Euh,dnas Bourbaki
proposition $\ne$ conjecture

Joaopa

nicolas.patrois a écrit:

Proposition == phrase vraie
Théorème == proposition vraie

Donc un théorème est une vraie phrase vraie

Plutôt un ton coupeur de cheveux en trois, ce qui est plus difficile qu’en quatre.

A christophe chalon.

Je suis entièrement d'accord avec tes propos.
Pour plus de clarté dans les miens; je précise que dans ma bouche << vraie >> et << démontrée >> signifie exactement la même chose pour moi, au risque de déranger les professionnels de la logique. C'est en tout cas la façon dont on en parle le plus naturellement (n'en déplaise aux spécialistes).

Mon point de vue est le suivant. La vérité mathématique dépend du système d'axiome sur lequel on s'appuie, ainsi que des règles de déduction que l'on s'est données. Par exemple, dans un système contradictoire, toutes les assertions sont à la fois vraies et fausses. Ainsi, dans mon système personnel (et simpliste, je le conçois), démontrer une assertion c'est prouver qu'elle est vraie (modulo les règles énoncées ci-dessus).

En adoptant ce point de vue, j'ai évacué la vérité << réelle >>, métaphysique, etc. Avec mon vocabulaire simpliste, les travaux de Gödel ont conduit, il me semble, à :

1/ montrer qu'il existe des assertions non démontrables (donc ni vraies, ni fausses) ; quand c'est utile (ex : axiome du choix), on peut donc enrichir l'axiomatique.

2/ montrer qu'on ne saura << jamais >> si la théorie classique des ensembles est contradictoire ou pas (c'est à dire l'existence d'une assertion vraie et fausse).

3/ montrer qu'il existe des assertions non démontrables mais << vraies >> (i.e. << vérifiables >> dans tous les << cas >> devrais-je dire), << vraies >> dans un autre sens que celle de ma définition.
(A VERIFIER , mes lectures étant lointaines).

Un axiome a-t-il le statut d'hypothèse ? Là aussi, c'est une question de point de vue. je le répète : on démontre des théorèmes dans un cadre précis : axiomatique et règles de déduction.
Vos propos sont cependant pertinents : dans le raisonnement par l'absurde, on adjoint temporairement dans l'axiomatique la négation de l'assertion à démontrer, en vue d'obtenir une contradiction. Ici, oui cela aurait le statut d'hypothèse.

M'intéressant aux mathématiques, je me suis naturellement penché sur ses fondements. Les logiques, telles qu'elles sont présentées actuellement, utilisent subtilement les outils mathématiques (raisonnement, etc.) normalement développés après coup. Ainsi je considère donc toutes ces logiques comme des modèles, des théories, capables d'un point de vue philosophique de parler des mathématiques elles-mêmes.

Il faut donc parler un langage commun. Quand on utilise le mot << théorème >> qui serait une relation vraie/ démontrée dans un certain système, on sait implicitement de quel système il s'agit. Et si l'on annonce :

THEOREME : il existe des relations dont on ne sait si ce sont des théorêmes ou pas.

il est clair que les mots THEOREME et théorêmes se réfèrent à des systèmes différents.

Bourbaki, il me semble, expose un point de vue (qualifié par certains d'obsolète) qui a le mérite de représenter les raisonnements de base dans le développement d'un langage simple.

De même, je crois que la représentation la plus populaire de l'analyse non standard est celle de Nelson, car elle suit les principes simples
1/ de la donnée d'une axiomatique
2/ de la conservation des règles de déductions usuelles
3/ de la démonstration à la main du fait que tout théorème classique démontré dans le système ANS est un théorème du système Zermelo-Frankel+AC.

Sous-réserve de ne pas avoir trop dit de bêtises ...

Amicalement.

Oui: d'arité 0

Edit: je précise par proposition, j'entends "énoncé"; phrase, etc: vrai ou faux, peu importe