Groupe de Galois
Bonjour et bonne année aux lecteurs de ce fil.
Je voudrais comprendre les informations que l'on obtient sur le groupe de Galois d'un polynôme irréductible de Z[X] si en passant dans F_p[X] il reste irréductible.
Merci de votre éclairage et pour d'éventuelles références.
[Galois mérite bien une majuscule AD]
Je voudrais comprendre les informations que l'on obtient sur le groupe de Galois d'un polynôme irréductible de Z[X] si en passant dans F_p[X] il reste irréductible.
Merci de votre éclairage et pour d'éventuelles références.
[Galois mérite bien une majuscule AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Cette question a été posée par Artin à Tate lors d'un examen.
Borde.
[Frobenius mérite bien ... AD]
N'est-ce pas plutôt qu'il existe dans le Galois en question un cycle d'ordre p ?
Il me semble pourtant que c'est correct : l'implication $\overline {P}$ irréductible dans $\mathbb {F}_p$ implique $p$ inerte dans $\mathbb {Z}_{\mathbb {K}}$ est claire. Ecrivons alors $p \mathbb {Z}_{\mathbb {K}} = \mathfrak {P}$ et pour tout $\sigma \in G := \mathrm {Gal}(\mathbb {K} / \mathbb {Q})$, on a $\sigma (\mathfrak {P} ) = \sigma((p)) = (p) = \mathfrak {P}$, ce qui implique que $\sigma \in \mathcal {D}_{\mathfrak {P}}$ le groupe de décomposition de $\mathfrak {P}$, et donc $G = \mathcal {D}_{\mathfrak {P}}$. Le groupe de décomposition étant cyclique (puisque $p$ est non ramifié), on conclut.
Non ?
Borde.
modulo 5, on verifie que $P$ est irreductible dans $\mathbb F_5[X]$. Or le groupe de Galois de $P$ est $\Sigma_5$
"l'implication $ \overline {P}$ irréductible dans $ \mathbb {F}_p$ implique $ p$ inerte dans $ \mathbb {Z}_{\mathbb {K}}$ est claire"
Je pense qu'il faut ajouter la condition $p$ ne divise pas le conducteur de $\mathbb Z[\Theta]$ ou $\Theta$ est un element entier primitive de $L$.
Une CNS pour aue $p$ soit inerte dans $L$ est que $P$ est irreducitble dans $\mathbb Z_p$
Pour repondre a la question initiale, On peut juste conclure que $G$ contient un cycle d'ordre $p$.
Joaopa
qui dit peut etre d'enormes conneries, mais pardonnables apres les fetes
Le contre-exemple n'en est pas vraiment un, car ton extension n'est pas galoisienne.
Mais c'est ma faute : tout ce que j'ai écrit ci-dessus ne s'applique qu'aux extensions galoisiennes (ce qui était sous-entendu dès lors que l'on parle de Frobenius).
D'ailleurs, la condition nécessaire ci-dessus est aussi suffisante. Résumons ça :
{\it Soit $\mathbb {L} / \mathbb {K}$ une extension {\bf galoisienne} et $\mathfrak {p}$ un idéal premier non ramifié dans $\mathcal {O}_{\mathbb{K}}$. On pose $\mathfrak {P} \mid \mathfrak {p}$ et soit $\sigma_{\mathfrak {P}}$ le Frobénius associé. Alors :
$\mathfrak {p}$ est inerte dans $\mathcal {O}_{\mathbb {L}}$ $\Leftrightarrow$ $\sigma_{\mathfrak {P}}$ engendre} $\mathrm {Gal} (\mathbb {L} / \mathbb {K} )$.
Borde.
Par definition, l'extension engendre par un polynome est celle engendree par toutes ses racines. Comme on est en caracteristique 0, l'extension est galoisienne non?
Joaopa
> Oui, il est nécessaire que $p$ soit non ramifié,
> i.e. $p \nmid f_{\mathbb{K}}$.
Je crois pas : la ramification est acceptée, d'ailleurs on la verra dans les exposants des polynômes qui figurent dans la décomposition sur $F_p$. Par contre, il est nécessaire que l'anneau des entiers de $K$ soit du type $\Z[\alpha]$ et c'est pas toujours le cas.
Quand c'est pas le cas, le théorème (de Kummer je crois) marche encore si on suppose $p$ ne divise pas le conducteur de $\Z[\Theta]$ (qui n'est pas nécessairement le conducteur de l'anneau des entiers de $K$ !).
Joaopa : ton corps $\mathbb {K}$ est de degré $5$ et le groupe de Galois est d'ordre $120$, $\mathbb {K}$ n'est donc pas galoisien. Je parle bien sûr du corps de nombres de polynôme $P = X^5 - X -1$, et non du corps de décomposition de ce polynôme (on a déjà eu cette discussion il y a un an ou plus avec Omar).
J'ai donc imposé une contrainte supplémentaire à l'exercice posé initialement, et ma réponse n'est valable que dans ce cas.
Dans le cadre plus général posée par Coucoubernard, je pense que l'on ne peut pas dire plus que les réponses de Lojaco et de Joaopa.
Borde.
Bonne année à toi,
Borde.
borde écrivait:
> Cette question a été posée par Artin à Tate lors
> d'un examen.
C'est incroyable de posséder ce genre d'info : quelles sont tes sources?
Peut-être dans un des poly de Milne...ou une info provenant de G. Gras.
Borde.