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Démontrer et Gagnez

Envoyé par AitJoseph 
Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Bonjour


J'offre le Livre Visualiser la Quatrième Dimension ( Vuibert ) , pour celui qui démontrera le premier, la proprièté d'Hadamard :


1/R égal à limsup ( un ) puissance 1/n


R Rayon de convergence d'une série entière un zn


Nul en Latex


Le livre sera transmis par courrier

Le modérateur est Témoin


C'est sérieux

AA
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Elle découle de la règle de Cauchy pour les suites, à savoir : si $(u_n)^{1/n}$ admet une limite $\ell\neq 1$ alors si $\ell<1$ on a $\sum u_n$ converge et si $\ell>1$ la série diverge.
En effet, si $\ell<1$, il existe $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$ on a $u_n^{1/n} \leq \lambda ={{1+\ell}\over{2}}<1$ et donc c'est fini.
Si $\ell>1$, il existe $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$ on a $u_n^{1/n}\geq 1$ et le terme général de $\sum u_n$ ne tend pas vers zéro. CQFD
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Re

Prière me communiquer votre adresse exacte

et puis confirmer par mail après réception sur Forum

Frais de port payé

C'est mieux que de vendre les livres !


Cordialement
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Bonjour Aitjoseph,

je viens de t'envoyer, par messagerie, mon adresse postale.

Merci.
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Re


Le livre sera posté demain


Cordialement
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Re


est ce que racine nième de un existe meme si un négatif ?


Merci
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
avatar
Bonjour,

étant donné un entier naturel non nul n, tout nombre complexe z non nul admet n racines nièmes distinctes : la fonction z->z^(1/n) est donc multiforme si n>1. 0 n'admet que 0 comme racine nième.
Cela dit, quand on parle d'un nombre positif x, on prend le plus souvent le nombre positif y tel que y^n=x comme racine nième de x.
Cordialement.
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Rebonjour


A mon avis il faut ajouter le module de xn , et éviter de parler de fonctions multiformes .

Cordialement
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Bonjour Aitjoseph,

j'ai bien reçu ce matin, en lettre recommandée, le livre "visualiser la quatrième dimension".

Merci beaucoup.
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Bonjour

Il semble que ma démarche n'interresse personne et pourtant ma bibliothtèque est pleine de perles ...


Cordialement
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
AITJOSEPH
Moi je veux bien gagner des livres.:)-D

Tu as des encore des questions ?



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a douze ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Bonjour

La réponse de Monsieur ALAIN est en fait incomplète , MATHS 3 30 , si vous rédigez une démonstration complète , vous Gagnerez le meme livre , ou Théorie de la variable complexe ED MIR , à vous de choisir .


Bonne chance
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
RE

bIENSUR QUE TOUT LE MONDE EST CONCERNE !


Bonne chance
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
avatar
Suis-je le seul à trouver ce fil nauséabond ?

Domi
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
bONJOUR


jE NE COMPRENDS PAS NAUSEABOND


mERCI
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
MERCI Monsieur DOMI
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
avatar
J'ai sûrement été inutilement désagréable mais si tu as vraiment des livres à offrir , pourquoi ne proposes-tu pas de "vrais" défis .
Demander à quelqu'un de recopier le plus vite possible une démonstration de cours en lui présentant un bel os en appât , ce n'est pas l'idée que je me fais des mathématiques .

Domi
bar
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
Bonjour

Je trouve votre idée très sympa, si le jeu tiens toujours voilà ma réponse.

{\bf Théorème 1} :
Supposons que la série $S_n$ de terme général $z_n$ soit telle que
$$ \lim_{n \longrightarrow \infty} \sup |z_n|^{\frac 1 n} = L $$.
Alors la série est absolument convergente si $L < 1$ et divergente si $ L > 1$.

{\bf Preuve} :
Supposons que $L < 1$ et posons $r$ tel que $L < r < 1$.
Par définition de la limite sup, il existe qu'un nombre fini de termes de la suite $\{|z_n|^{\frac 1 n}\}$ supérieur à $r$ donc il existe un entier $N$ tel que pour tout $N>n$ Nous avons $|z_n|^{\frac 1 n} < r$ et ainsi $|z_n| < r^n$. Comme $r< 1$, le reste
$\displaystyle \sum_{n=N+1}^\infty {r^n} $ converge car cela est celui d'une série géométrique de raison $< 1$.
De plus, $\displaystyle \sum_{n=N+1}^\infty r^n \geq \sum_{n=N+1}^\infty
|z_n| $.
Ainsi, en utilisant le critère de comparaison des convergences, nous obtenons la convergence absolue du reste de la série $S_n$ et par là même sa convergence. Finalement, $S_n$ converge absolument car son reste converge absolument.

Maintenant supposons que $L>1$ et posons $r$ tel que $1 < r < L$.
Par définition de la limite sup, il existe qu'un nombre fini de termes de la suite $\{|z_n|^{\frac 1 n}\}$ inférieur à $r$, donc il existe un entier $N$ tel que pour tout $N>n$ Nous avons $|z_n|^{\frac 1 n} > r$ et ainsi $|z_n| > r^n$. Comme $r> 1$, la limite de $|z_n|$ est différente de 0, il en est donc de même pour $z_n$.
Finalement, nous avons la divergence de la série $S_n$.

On peut remarquer que pour $L=1$, on ne peut répondre directement.

{\bf Théorème 2} :
Supposons que nous avons la série $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - a)^n $ alors l'ensemble des $z$ vers laquelle la série peut converger est :
\begin{enumerate}
\item Soit un seul point $z=a$.
\item Soit un disque ouvert $D_r(a) = \{ z \mid | z - a | < r \}$ ou $(D_r(a) \cup B)$ avec $B$ est un ensemble inclus (pas nécessairement de façon stricte) dans $C_r(a) = \{ z \mid | z - a | = r \}$. Nous pouvons remarquer que si $B$ est vide nous nous retrouvons dans dans le cas $z \in D_r(a)$.
\item Soit le plan complexe en entier.
\end{enumerate}
Dans le second cas, $r$ est appelé rayon de convergence. Dans le dernier cas, nous dirons que le rayon de convergence est infini.

{\bf Preuve} :
En utilisant, le théorème 1, la série converge absolument aux points $z$ tels que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \rightarrow \infty} \sup |c_n (z-a)^n|^{\frac 1 n} < 1$
autrement dit $\displaystyle | z - a | \lim_{ n \rightarrow \infty} \sup | c_n |^{\frac 1 n} < 1} \qquad \qquad (*)$.
Il y a donc trois possibilités pour que la formule (*) soit respectée :
\begin{enumerate}
\item Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} sup |c_n|^{\frac 1 n} = \infty $ alors la formule $(*)$ n'est respectée que si $z=a$.
\item Si $\displaystyle | z - a | < \frac 1 { \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup |c_n|^{\frac 1 n} }$ donc $ z \in (D_r(a) U B)$.
\item Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sup |c_n|^{\frac 1 n} = 0$ alors n'importe quel $z$ permettra de respecter $(*)$.
\end{enumerate}
Une remarque somme toute importante doit être faite, on ne peut pas conclure directement pour $z \in C_r(a)$.

Finalement, d'après la définition du rayon de convergence et les théorèmes précités, nous avons $$ r= \frac 1 { \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |c_n|^{\frac 1 n}}$$
Une dernière remarque intéressante, une limite sup existe toujours dans $R_+ \cup \{\infty\}$ contrairement aux limites ordinaires.
bar
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
bonjour

je trouve votre initiative fort sympathique et j'espère que le jeu tient toujours. J'ai mis la démonstration en pièce jointe car j'ai eu quelques problèmes pour afficher le code latex directement.

Mes salutations.
[attachment 8651 hadamard.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - hadamard.pdf (42.6 KB)
Re: Démontrer et Gagnez
il y a douze années
MERCI DOMI
Hier je n'ai pas dormi , c'est un mauvais mot dans notre culture, si vous etes vrament un mathématicen , je vous prie de présenter des excuses .


Cordialement
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