Démontrer et Gagnez

Elle découle de la règle de Cauchy pour les suites, à savoir : si $(u_n)^{1/n}$ admet une limite $\ell\neq 1$ alors si $\ell<1$ on a $\sum u_n$ converge et si $\ell>1$ la série diverge.
En effet, si $\ell<1$, il existe $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$ on a $u_n^{1/n} \leq \lambda ={{1+\ell}\over{2}}<1$ et donc c'est fini.
Si $\ell>1$, il existe $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$ on a $u_n^{1/n}\geq 1$ et le terme général de $\sum u_n$ ne tend pas vers zéro. CQFD

Bonjour Aitjoseph,

je viens de t'envoyer, par messagerie, mon adresse postale.

Merci.

Suis-je le seul à trouver ce fil nauséabond ?

Domi

Bonjour

Je trouve votre idée très sympa, si le jeu tiens toujours voilà ma réponse.

{\bf Théorème 1} :
Supposons que la série $S_n$ de terme général $z_n$ soit telle que
$$ \lim_{n \longrightarrow \infty} \sup |z_n|^{\frac 1 n} = L $$.
Alors la série est absolument convergente si $L < 1$ et divergente si $ L > 1$.

{\bf Preuve} :
Supposons que $L < 1$ et posons $r$ tel que $L < r < 1$.
Par définition de la limite sup, il existe qu'un nombre fini de termes de la suite $\{|z_n|^{\frac 1 n}\}$ supérieur à $r$ donc il existe un entier $N$ tel que pour tout $N>n$ Nous avons $|z_n|^{\frac 1 n} < r$ et ainsi $|z_n| < r^n$. Comme $r< 1$, le reste
$\displaystyle \sum_{n=N+1}^\infty {r^n} $ converge car cela est celui d'une série géométrique de raison $< 1$.
De plus, $\displaystyle \sum_{n=N+1}^\infty r^n \geq \sum_{n=N+1}^\infty
|z_n| $.
Ainsi, en utilisant le critère de comparaison des convergences, nous obtenons la convergence absolue du reste de la série $S_n$ et par là même sa convergence. Finalement, $S_n$ converge absolument car son reste converge absolument.

Maintenant supposons que $L>1$ et posons $r$ tel que $1 < r < L$.
Par définition de la limite sup, il existe qu'un nombre fini de termes de la suite $\{|z_n|^{\frac 1 n}\}$ inférieur à $r$, donc il existe un entier $N$ tel que pour tout $N>n$ Nous avons $|z_n|^{\frac 1 n} > r$ et ainsi $|z_n| > r^n$. Comme $r> 1$, la limite de $|z_n|$ est différente de 0, il en est donc de même pour $z_n$.
Finalement, nous avons la divergence de la série $S_n$.

On peut remarquer que pour $L=1$, on ne peut répondre directement.

{\bf Théorème 2} :
Supposons que nous avons la série $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - a)^n $ alors l'ensemble des $z$ vers laquelle la série peut converger est :
\begin{enumerate}
\item Soit un seul point $z=a$.
\item Soit un disque ouvert $D_r(a) = \{ z \mid | z - a | < r \}$ ou $(D_r(a) \cup $ avec $B$ est un ensemble inclus (pas nécessairement de façon stricte) dans $C_r(a) = \{ z \mid | z - a | = r \}$. Nous pouvons remarquer que si $B$ est vide nous nous retrouvons dans dans le cas $z \in D_r(a)$.
\item Soit le plan complexe en entier.
\end{enumerate}
Dans le second cas, $r$ est appelé rayon de convergence. Dans le dernier cas, nous dirons que le rayon de convergence est infini.

{\bf Preuve} :
En utilisant, le théorème 1, la série converge absolument aux points $z$ tels que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \rightarrow \infty} \sup |c_n (z-a)^n|^{\frac 1 n} < 1$
autrement dit $\displaystyle | z - a | \lim_{ n \rightarrow \infty} \sup | c_n |^{\frac 1 n} < 1} \qquad \qquad (*)$.
Il y a donc trois possibilités pour que la formule (*) soit respectée :
\begin{enumerate}
\item Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} sup |c_n|^{\frac 1 n} = \infty $ alors la formule $(*)$ n'est respectée que si $z=a$.
\item Si $\displaystyle | z - a | < \frac 1 { \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup |c_n|^{\frac 1 n} }$ donc $ z \in (D_r(a) U $.
\item Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sup |c_n|^{\frac 1 n} = 0$ alors n'importe quel $z$ permettra de respecter $(*)$.
\end{enumerate}
Une remarque somme toute importante doit être faite, on ne peut pas conclure directement pour $z \in C_r(a)$.

Finalement, d'après la définition du rayon de convergence et les théorèmes précités, nous avons $$ r= \frac 1 { \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |c_n|^{\frac 1 n}}$$
Une dernière remarque intéressante, une limite sup existe toujours dans $R_+ \cup \{\infty\}$ contrairement aux limites ordinaires.

Je n'ai surtout pas de livre à offrir ce qui diminue énormément ma crédibilité . Qui a dit que l'argent n'a pas d'odeur ? Ce n'est pas mon avis !

Domi

Et peut-être aussi introduire des jokers comme dans "Qui veut gagner des millions ?"...
Ou laisser faire le hasard comme dans "la roue de la fortune" ?..
Et pourquoi pas aussi en profiter pour faire des rencontres comme dans "Tournez manège" ?...
En voilà des bonnes idées pour faire des jeux à la con.

domi : les excuses sont notre devoir avant d'etre le droit des autres...
quelqu'un se sent blessé et l'exprime car gratuitement insulté par toi, quand bien meme ce fil laissait à désirer, il était de ton devoir de t'excuser, mais tu es tellement connu pour ne jamais reconnaitre tes torts, t'emporter si facilement - tu réagis comme un lache en panique, par peur de l'autre- et salir les fils pour les fermer a ton "gout".
Ou donc vois-tu de l'intolérance ? a chaque fois qu'une culture te fait peur et que tu ne peux pas la tolérer, alors dis-le clairement que tu pues de nature.
ps : tu formes un beau couple avec la ricanerie habituelle d'Aleg
bonne soirée ;-)

d'accord Alain, je suis désolé. Mais je n'ai pas lancé le débat sur d'odeur ;-)
bonne soirée

réponse au médiocre Domi Écrivait:

---

> domi : les excuses sont notre devoir avant d'etre
> le droit des autres...
> quelqu'un se sent blessé et l'exprime car
> gratuitement insulté par toi, quand bien meme ce
> fil laissait à désirer, il était de ton devoir de
> t'excuser, mais tu es tellement connu pour ne
> jamais reconnaitre tes torts, t'emporter si
> facilement - tu réagis comme un lache en panique,
> par peur de l'autre- et salir les fils pour les
> fermer a ton "gout".
> Ou donc vois-tu de l'intolérance ? a chaque fois
> qu'une culture te fait peur et que tu ne peux pas
> la tolérer, alors dis-le clairement que tu pues de
> nature.

Qui est lache et insultant ici : c'est toi qui pollues ce fil !

J'ai émis des réserves sur le sujet ( c'est le sujet bien sûr et pas de l'auteur que je trouve "nauséabond" ) . J'ai ensuite adouci mon message en voyant qu'il avait été mal compris . Si maintenant tu gardes des rancoeurs à mon égard pour un autre problème , laisse tomber l'anonymat et ne profite pas de ce fil pour déverser ta haine qui elle , est réellement puante .

Domi

Ce n'est pas moi que tu singes mais uniquement toi ! Je ne répondrais plus sur ce fil mais tu peux me joindre sur ma messagerie qui est publique .

Domi

Re


J'étais un peu malade , ce qui explique mon Absence.

Voyons M Bar : la lisup existe toujours , si la suite n'est pas majorée : elle vaut plus l'infini.


Dans le cas L égal à 1 , elle faudrait donner deux exemples. dans un cas la série cv , dans lautre elle diverge

On peut creuser plus


Cordialement


PS votre adresse M bAR