Compacité au sens physique !
Bonsoir :
J'ai lu sur le lien suivant : \lien{
que : en relativité restreinte ( mécanique relativiste ) , un espace compact est un espace fermée, fini, sans bord ( sphère ) ... J'aimerai que quelqu'un me traduit ça mathématiquement ou géométriquement ( je ne sais pas ... ) ... Est ce que l'équivalent mathématique de la notion de compact en mécanique relativiste , est celui de la compacité qu'on trouve dans les manuels de topologie mathématique ... non ... ? c'est pas ça ... ?
Merci d'avance ... !
[Activation du lien : en \LaTeX, il faut encadrer le l'URL par \verb+\lien{...}+ ce qui donne ici : \verb+\lien{. Remarque les \verb+\%+ destinés à introduire le symbole de pourcentage de l'adresse sans que le compilateur l'interprète comme une marque de commentaire. Bonne journée Pablo. Bruno]
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que : en relativité restreinte ( mécanique relativiste ) , un espace compact est un espace fermée, fini, sans bord ( sphère ) ... J'aimerai que quelqu'un me traduit ça mathématiquement ou géométriquement ( je ne sais pas ... ) ... Est ce que l'équivalent mathématique de la notion de compact en mécanique relativiste , est celui de la compacité qu'on trouve dans les manuels de topologie mathématique ... non ... ? c'est pas ça ... ?
Merci d'avance ... !
[Activation du lien : en \LaTeX, il faut encadrer le l'URL par \verb+\lien{...}+ ce qui donne ici : \verb+\lien{. Remarque les \verb+\%+ destinés à introduire le symbole de pourcentage de l'adresse sans que le compilateur l'interprète comme une marque de commentaire. Bonne journée Pablo. Bruno]
Réponses
-
J'aimerai que vous me dites aussi, comment arriver à distinguer facilement qu'un espace est compact sur des variétés en général, sans passer necessairement par les definitions ... ?
Merci d'avance ... ! -
Bonjour, pablo le lien que tu donnes m'affiche "aucun résultat"...
Jean-Louis.
[Petits problèmes techniques à présent corrigés. Bruno] -
Bonjour,
La question m'intéresse aussi alors je me lance :
La notion de compacité permet de caractériser la finitude ou non d'un espace topologique.
La notion "sans bord" quand à elle caractérise ce qu'on peut appeler l'illimité (un objet dans l'espace en question peut se déplacer sans jamais rencontrer d'obstacle).
On a infini $\nRightarrow$ illimité (il existe des variétés non compactes à bord),
et illimité $\nRightarrow$ infini (cf la sphère justement).
Il n'y a pas 50 notions de compacité :
Un espace topologique est compact lorsque de tout recouvrement d'ouverts il existe un sous-recouvrement fini.
(lorsque l'espace est muni d'une métrique, on peut alors caractériser la compacité par les suites).
Or, si tu es dans un espace de dimension finie, un compact est exactement un fermé borné. On peut dire aussi d'une autre manière qu'en dimension finie pour un fermé, compact=borné.
Donc, en dimension finie, qu'est-ce qu'une variété sans bord compacte ?
Réponse : un fermé !
En espérant n'avoir pas dit trop de conneries,
Amicalement,
Johann
PS : Du coup je me pose une question : qu'est qu'un espace fini en dimension infinie ? Plus rien à voir avec la compacité ? -
Bonjour :
"TigerFou" :
Tu entends quoi par finitude d'un espace topologique ... ? qu'elle est limité dans un petit espace ( borné ) ... par exemple : un objet geometrique : cube , sphère qu'on peut les mettre à l'interieur d'un petit espace ( boule par exemple ) ... ou bien, elle est etendu à l'infini : par exemple un plan euclidien ... ( non borné ) ... on ne peut pas le mettre à l'interieur d'une boule par exemple ... c'est ça ... ?
Merci infiniment ... ! -
Qu'on puisse extraire de tout recouvrement un sous-recouvrement fini, cela exprime bien intuitivement qu'on peut "plonger cet espace dans un espace plus grand COMPACT" ie il est fini, mais cela ne veux pas dire que l'espace en question possède un bord :
Un intervalle ouvert de $\R$ n'est pas infini puisqu'on peut l'inclure dans un intervalle fermé plus grand, mais il est illimité puisqu'il ne contient pas ses bornes.
Amicalement,
Johann -
Euh, TigerFou, je n'ai jamais rencontré la notion d'espace fini, sauf à la rigueur au sens de possédant un nombre fini d'éléments... Tu peux toujours plonger n'importe quel espace dans un espace plus grand (bon OK, sauf si c'est un univers).
-
Un ensemble fini de points muni d'une topologie (par exemple la topologie discrète ie toutes les parties sont des ouverts) forment un espace topologique fini et limité.
$\R^n$ est typiquement un exemple d'espace à la fois illimité et infini.
$\$^n$ la n-sphère est un espace illimité mais non infini.
La définition exacte du terme infini est "illimité en nombre". Ainsi lorsque je dis que la sphère n'est pas infinie, il faut comprendre qu'elle est compacte (recouverte par un nombre fini d'ouverts, rien à voir avec son cardinal).
Ainsi la n-boule ouverte est un espace illimité mais non infini, car elle peut être incluse dans une boule compacte.
Amicalement,
Johann -
J'ai bien compris ton point de vue, je voulais juste te faire remarquer que ce n'est pas l'usage mathématique du mot fini. Qu'est-ce qui te fait penser que $\R^n$ ne peut pas être inclus aussi sympathiquement que possible dans un compact ?
-
Oui c'est vrai que le terme fini est inapproprié et même maladroit, mais je n'ai pas mieux.
Quand à $\R^n$, tu me fais douter... Si on le compactifie, on obtient quelque chose qui ne le contient pas en termes d'espaces topologiques (en terme d'ensemble oui par contre) puisqu'ils n'ont pas la même topologie, si ?
Corriges moi si je ùe trompe.
Amicalement,
Johann -
Mais c'est la même chose lorsque tu dis que $]0,1[$ est contenu dans un compact non ?
-
Justement quand on compactifie quelqu'un, ce quelqu'un est un sous-espace topologique du compactifié, sinon ça n'a pas d'intérêt. Le compactifié d'Alexandroff de $\R$ est le cercle $S^1$ et $\R$ est homéomorphe à $S^1$ privé d'un point.
Pour reprendre ce que dit egoroff, $\R$ est aussi homéomorphe à $]0,1[$... -
Bonjour :
Une idée qui peut sembler hilarente pour certains ici :
Souvent, on considère un espace dans lequel un point bouge à l'interieur ... par contre, peu de gens pensent que cette action peut etre vue autrement : le point reste fixe par contre l'espace bouge ... !
Est ce que de point de vue mathematique, cette idée est valable ... !? et peut-t-elle servir à quelques choses ... ?
Que veut dire un espace continûment en extension ( Theorie de Big Bang ... ) ... ?
Merci ... ! -
..et on peut aussi compactifier $\R$ avec deux points ! TiberFou tu as peut-être confondu "fini" et "borné" ? La bornitude n'est pas une propriété topologique mais métrique ; donc il y a une différence fondamentale avec la compacité.
Bon cela dit l'idée que la compacité se rapproche de la finitude n'est pas mauvaise. La compacité permet souvent de passer du ponctuel à l'uniforme, et c'est souvent la seule propriété qui permet ce passage pour un espace infini. -
Bonjour,
Bon OK je rend les armes, je me suis planté quelque part...:-(
"inclu dans un compact" sa ne garantit pas la "finitude".
Bon. Si au moins sa fermeture est compacte, c'est bon ?
La fermeture d'un ouvert de $\R^n$ est compacte, et $\R^n$ est déja fermé, non compact, ça marche là...
Par contre il faut soit être dans un espace métrique, soit dans un espace topologique à base dénombrable pour pouvoir parler de fermeture, me trompe-je ?
Merci remarque, egoroff
Amicalement,
Johann -
le coup de l'espace qui bouge autour du point, j'avoue que ça me fait furieusement penser à du djamel ghanouchi...
t-mouss -
TigerFou, ouille, ouille, ouille ! La fermeture d'une partie d'un espace topologique quelconque, c'est le plus petit fermé qui contient cette partie. Ca existe toujours dans n'importe quel espace topologique, mais ce n'est pas une propriété topologique intrinsèque de la partie considérée, puisqu'elle dépend de l'espace dans lequel cette partie est incluse. Par exemple, $\R$ comme partie de $\R$ est fermé et est donc sa propre adhérence. Par contre, $\R$ inclus dans son compactifié (disons d'Alexandroff pour fixer les idées, c'est le plus simple) est dense dedans, donc son adhérence est le compactifié tout entier. La fermeture d'un ouvert de $\R^n$ dans $\R^n$ n'est pas forcément compacte. Elle l'est si et seulement si l'ouvert en question est borné. Par contre, si on considère l'ouvert comme partie d'un compactifié de $\R^n$, alors son adhérence est toujours compacte. Je ne sais pas si c'est clair.
t-mouss : non en fait, ce n'est pas simplement la relativité du mouvement ? Rien d'exotique là-dedans, me semble-t-il. -
Hum... OK remarque.
Ce n'est pas la première fois que je fais cette erreur concernant la fermeture en plus ! Faut que je retravaille mes cours de topologie...
Clairement je cherche midi à quatorze heure en essayant de ramener la notion d'infinité à celle de non-compacité, je voulais absolument l'exprimer comme une propriété topologique alors que, comme l'a dit egoroff, il s'agit en fait bel et bien d'une propriété métrique.
En fait l'illimité est un potentiel de l'espace, tout comme l'infini ordinal découle de la structure ordonnée des nombres; quand à l'infini, c'est un aspect métrique lié à son contenu, un genre d'illimité en nombre (comme l'infini cardinal des ensembles)...
Je ne sais pas si ce parallèle est correct, mais je le trouve assez parlant.
Merci pour vos corrections
Amicalement,
Johann -
KR Écrivait:
> le coup de l'espace qui bouge autour du point,
> j'avoue que ça me fait furieusement penser à du
> djamel ghanouchi...
>
> t-mouss
Non, rien à avoir avec "Jamel" ... souvent je m'imagine au milieu d'un univers sans bord infini vide ... et on s'imagine si on bouge, c'est comme si en realité, on fait bouger l'univers à gauche ou à droite sans qu'on bouge soit même ... !
Mais c'est juste une idée passagère finalement ... ! Bref, c'est une sorte de commtativité d'actions de decrire les choses de cette manière ... ! -
Pablo, en fait ton idée n'est pas si passagère que ça, c'est juste que le mouvement n'est pas absolu, il est relatif. Il n'y a pas de mystère là-dedans.
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Je trouve ce fil délicieusement bogdanovien...
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Ah non, je proteste, je ne suis pas prognathe !
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Je ne parlais évidemment pas de tes interventions, Remarque, qui visaient au contraire à ramener un peu de raison là où la métaphore filait toute seule...
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Ah mais je n'étais pas fâché ! C'est pas forcément si désagréable de devenir médiatique, tout d'un coup. B-)-
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Même les commentateurs de foot parlent d' "équipe compacte"...
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Oui, et il y a même des barils de lessive réputés "compacts"...
(Tiens, mon cher bs, sur le forum à cette heure tardive ? Et B.. qui ne dit rien..?
) -
Qu'un baril, qui après tout n'est une forme de tonneau, soit compact, cela ne me choque pas.
-
Bonjour à tous.
J'ai eu l'impression que ce fil n'a jamais traité la question initiale. Ce qui ne m'étonne pas, un physicien qui utilise le nom "compact" pour définir une notion physique (même dans un cadre mathématique) n'a pas de raison de retomber sur la notion mathématique de "compact". Et comme cette notion n'a pas de sens physique (vous l'avez assez illusté, je n'y reviens pas).
Donc pour en revenir à la question, il faut d'abord rappeler que ce que le physicien appelle "espace" est ce que le mathématicien appelle une variété différentielle. Ensuite il suffit de lire :
"fermé" veut dire "compact"
"compact" veut dire "fini sans bord".
On pourrait penser à une variété (dimension 3 ou 4?) sans frontière, de "volume" fini;
Mais la suite devient plus stricte : "Lorsque l'on va tout droit dans cet espace on finit par revenir à son point de départ." En fait, l'idée est plutôt que les géodésiques sont des courbes fermées et de "longueur" finie. Tout ça limite fortement les possibilités !
Cordialement -
Pablo venait de dire, + ou -, que quand on bouge dans le vide, on peut aussi se dire que le vide bouge autour de nous qui restons fixe...Pablo, en fait ton idée n'est pas si passagère que ça, c'est juste que le mouvement n'est pas absolu, il est relatif. Il n'y a pas de mystère là-dedans.
J'ai mis en gras une assertion pas si innocente que ça.
C'est toute l'histoire de la découverte expérimentale de la relativité qui est derrière. Dès lors qu'il y avait une possibilité d'envoyer un signal qui se déplace à vitesse finie (1) et qui est insensible à la vitesse de sa source (ie qui n'est pas "propulsé") (en l'occurence les ondes lumineuses), il devenaient mathématiquement prouvable (exercice: voir Michelson et Morley, je crois) que, sous de modestes hypothèses (2), la relativité ci-dessus était prouvablement fausse...
Comme quoi... Les rèves théoriques... S'imaginer face au défi, en apparence impossible, d'être une entité mobile qui essaie de faire dévier le mouvement rectiligne uniforme de son centre de gravité, défi qui apparait impossible et que ressent surement Pablo par son post. Ce défi était vaincu par (1)
Mais, les à priori très modestes hyp(2), ont été révélées fausses et c'est ça la première révolution historique de la relativité... Et franchement, qui s'y attendait
Bon, mais on n'a pas tout essayé: imaginons maintenant, que les physiciens découvrent non pas 1, mais 2 types de signaux qui se déplacent à vitesse constante dans toutes les directions, mais l'un disons à 300000km/s, et l'autre à 200000km/s! (Un peu de science-fiction)
Jusqu'à quelles hypothèses devrait-on renoncer pour comprendre notre environnement?
Par ailleurs, petite question: dans la version ancienne de nos croyances physiques, l'impossibilité pour un système d'auto-dévier le mvt rectiligne de son centre de gravité était un axiome cru, mais CROYABLE, et presque prouvable (qui entrait donc en conflit avec la possibilité de (1) dès très tôt... Qui connait les différentes argumentations dont la conclusion est cette assertion? (Pas moi, mais j'aimerais des propositions, doit y en avoir)..
Je pense qu'il doit y avoir un genre d'argument similaire à l'argument (4) de je ne sais plus qui pour prouver que les objets accélèrent tous autant quand ils tombent ((4)=en attachant le plus léger au plus lourd pour aller vers une contradiction)
Pour le thème du fil, le mot "compact" en physique, je crois que c'est pas facile de répondre. La définition mathématique de ce mot-là a l'air vraiment robusteAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
GERARD a écrit:On pourrait penser à une variété (dimension 3 ou 4?) sans frontière, de "volume" fini;
Mais la suite devient plus stricte : "Lorsque l'on va tout droit dans cet espace on finit par revenir à son point de départ." En fait, l'idée est plutôt que les géodésiques sont des courbes fermées et de "longueur" finie. Tout ça limite fortement les possibilités !
L'idée du volume fini est sans doute assez séduisante pour capturer la finitude du physicien. Seulement je n'en sais pas assez sur les variétés dont la métrique est lorentzienne pour être assuré qu'il y a une forme de volume raisonnablement liée à la métrique sur l'espace-temps.
Les géodésiques par contre, c'est nettement à côté de la plaque. Déjà dans le cas riemannien, il y a des variétés compactes où la plupart des géodésiques ne reviennent pas sur elles-mêmes et sont donc de longueur infinie. Je présume qu'il en est de même dans le cas lorentzien.
Finalement, la compacité au sens topologique usuel, ce n'est pas si mal. On considère une variété lorentzienne compacte (variété = sans bord, sinon on dit variété à bord). Et puis voilà. Ca me rappelle un bouquin de Jack Vance où un magicien qui s'était mal conduit était banni au bord de l'univers...
cc : bon, j'ai peut-être un peu poussé sur l'absence de mystère. Disons, en physique classique newtonienne alors, en considérant que Pablo est un point matériel (attention pas un point d'exclamation matériel ¡!¡!¡). -
Salut Remarque.
J'avais évidemment de nombreux doutes en écrivant ma "traduction" de ce que dit l'article de wikipedia. Mais je sais que les physiciens utilisent des modèles "simplifiés" (isotropie, platitude locale, ...) qui font que le matheux qui voudrait justifier la conclusion sans avoir tous ces éléments part en vrille.
Cordialement.
NB : Pratiquement tous les thèmes de physique mathématique apparus sur ce forum ont donné ce genre de discussion.
-D -
on utilise aussi le mot "compacité" dans les études géotéchnique.
-
Bonjour tout le monde,
Juste pour signaler que "variété fermée" est souvent utilisé comme synonyme de "variété compacte sans bord" (notamment en anglais).
Cordialement,
MC -
MC de Rennes ? Le grand retour ??? ::o
-
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