Bac : Epreuve de mathématiques série S

Bonjour à tous,

Pour les intéressés, voici le sujet de mathématiques de la série S de spécialité, sur lesquels les élèves de Terminale ont planché ce matin.

[Edit 1 : modification mise en page]
[Edit 2 : correction variable muette]







{\bf Exercice 1}\\[0.4cm]

\noindent Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j})$ les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : $f(x)=\ln x$ et $g(x)=\left(\ln x\right)^2$.

(ici le graphique : le domaine $\{(x;y)\,\vert\,1\leq x \leq e \;\text{et}\; f(x)\leq y \leq g(x)\}$ est hachuré)

\begin{enumerate}
\item On cherche à déterminer l'aire A (en untiés d'aire) de la partie du plan hachurée.\\
\noindent On note $$I=\int_1^e \ln x \,\mathrm{d}x$$ et $$J=\int_1^e \left( \ln x\right)^2 \,\mathrm{d}x$$


\begin{enumerate}[a)]
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=x\ln x -x$ est une primitive de la fonction logarithme néperien. En déduire $I$

\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J=e-2I$
\item En déduire $J$
\item Donner la valeur de A.
\end{enumerate}

\item {\it Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}

\noindent Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[1;e]$ on note M le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x$ et N le point de la courbe $\mathcal{C}_g$ de même abscisse.\\
Pour quelle valeur de $x$ la distance MN est-elle maximale ? Calculer la valeur maximale de MN.
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

{\bf Exercice 2}\\[0.4cm]

\noindent Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\,\overrightarrow{j},\,\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(1;1;0)$, $B(1;2;1)$ et $C(3;-1;2)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.
\item Démontrer que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $2x+y-z-3=0$
\end{enumerate}
\item On considère les plans $(P)$ et $(Q)$ d'équations respectives $x+2y-z-4=0$ et $2x+3y-2z-5=0$.

\noindent Démontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est une droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est
$\begin{cases} x=-2+t& \\y =3 & (t\in\Bbb R) \\z =t&\end{cases}$

\item Quelle est l'intersection des trois plans $(ABC), (P), (Q)$ ?
\item {\it Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation}.

Déterminer la distance du point A à la droite $\mathcal{D}$
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

{\bf Exercice 3}\\[0.4cm]

\noindent La durée de vie, exprimée en heures, dun agenda électronique est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.

\noindent On rappelle que pour tout $t>0$, $$P(X\leq t)=\int_0^t \lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x$$

\noindent La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $R(t)=P(X>t)$ est appelée fonction de fiabilité.


\begin{enumerate}
\item {\bf Restitution organisée de connaissances}


\begin{enumerate}[a)]
\item Démontrer que pour tout $t\geq0$ on a $R(t)=e^{-\lambda t}$
\item Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geq0$, la probabilité conditionnelle $P_{X>t}(X>t+s)$ ne dépend pas du nombre $t\geq0$
\end{enumerate}

\item Dans cette question on prend $\lambda=0,00026$

\begin{enumerate}[a)]
\item Calculer $P(X\leq 1000)$ et $P(X>1000)$
\item Sachant que l'événement $(X>1000)$ est réalisé, calculer la probabilité de l'événement $(X>2000)$.
\item Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de $2000$ heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant $3000$ heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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{\bf Exercice 4}\\[0.4cm]

\begin{center}
{\bf Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

\noindent Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v})$.

\noindent Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_A=1-i$ et $z_B=7+\frac{7}{2}i$.

\begin{enumerate}
\item On considère la droite $d$ d'équation $4x+3y=1$. Démontrer que l'ensemble des points de $(d)$ dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points $M_k(3k+1;-4k-1)$ lorsque $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs.

\item Déterminer l'ange et le rapport de la similitude directe de centre $A$ qui transforme $B$ en $M_{-1}(-2;3)$

\item Soit $s$ la tansformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=\frac{2}{3}iz+\frac13-\frac53 i$

\noindent Déterminer l'image de $A$ par $s$, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de $s$.


\item On note $B_1$ l'image par $B$ de $s$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_{n+1}$ l'image de $B_n$ par $s$.


\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer la longueur $AB_{n+1}$ en fonction de $AB_n$
\item A partir de quel entier $n$ le point $B_n$ appartient-il au disque de centre $A$ et de rayon $10^{-2}$ ?
\item Déterminer l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels $A,B_1$ et $B_n$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}