Anneaux de polynômes

timouss
timouss
dans Les-mathématiques
Pourquoi K un corps implique que K[X] est principal ?

Réponses

  • Bruno6
    Bruno6
    Bonjour timouss.

    Si $K$ est un corps, $K[X]$ est un anneau euclidien, donc il est principal.

    Si tu te demandes pourquoi il est euclidien, c'est parce qu'on peut définir la division et tu n'as plus pour les détails qu'à regarder un cours.

    Bruno
  • Denis3
    Denis3
    On a même l'équivalence (K est un corps) <=> (K[X] est principal) il me semble.

    Denis
  • timouss
    timouss
    Merci bien les gars. En fait j'avais complétement haluciné passke la démo de l'équivalence était dans mon cour. Mais si on veut montrer
    K corps => K[X] principal sans passer par le caractère euclidien c'est le blocage le plus complet (je pense qu'il doit y avoir moyen en passant par un morphisme de l'ensemble des idéaux de K dans ceux de K[x] comme les seuls idéaux de K sont {o} et lui même....peut-être que...
  • P.Idrissou
    P.Idrissou
    Si K est un anneau principal peut-on avoir Kx principal
  • rémi
    rémi
    Un instant j'ai cru au retour de timouss puis j'ai regardé la date. Dommage cela aurait été sympa.
  • GreginGre
    GreginGre
    @P.IDrissou : Si $A$ est un anneau intègre, et si $a$ est un élément non nul et non inversible, alors l'idéal $(a,X)$ est non principal.

    En particulier, si $A$ est un anneau intègre qui n'est pas un corps, $A[X]$ n'est pas principal.
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