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Monotonie des sommes de Darboux

Envoyé par monsieur.patate 
monsieur.patate
Monotonie des sommes de Darboux
il y a onze années
Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction continue. Je voudrais partir de la définition suivante de l'intégrale : $\int_{a}^{b}f(x)\dx=\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta_k$
où $x_k=a+\dfrac{k}{n}(b-a)$ et $\Delta_k=x_{k+1}-x_{k}$

Le problème est de démontrer que cette limite existe bien. Pour cela, on considère les sommes de Darboux :
$S_n^+=\sum_{k=0}^{n-1}\sup\limits_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)\Delta_k$ et $S_n^-=\sum_{k=0}^{n-1}\inf\limits_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)\Delta_k$

L'idéal serait de démontrer que $S_n^+$ et $S_n^-$ sont adjacentes.
$\lim\limits_{n\to\infty}S_n^+-S_n^-=0$ : ça c'est très facile en utilisant l'uniforme continuité de $f$ sur $[a,b]$.

Problème : démontrer que $S_n^-$ est croissante et que $S_n^+$ est décroissante. Je n'ai trouvé aucune source qui le faisait proprement. Comment faire ? Merci.
Re: Monotonie des sommes de Darboux
il y a onze années
Inutile de s'intéresser à la monotonie éventuelle des sommes de Darboux. Utilise le fait que $f$ est intégrable si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe une partition de ton intervalle pour laquelle la différence entre les sommes de Darboux est inférieure à $\varepsilon$ (voir par exemple le bouquin de Hairer et Wanner, Analysis by its history).
monsieur.patate
Re: Monotonie des sommes de Darboux
il y a onze années
Dans la définition de l'intégrale que j'ai proposé :
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta_k$
J'ai évité de parler de subdivisions (pas le temps, c'est une leçon capes), et je ne considère que des fonctions continues. Je ne définis pas la notion de fonction intégrable, puisque je ne travaille qu'avec des fonctions continues. Je veux juste, "à partir de rien" (concernant la théorie de l'intégration) démontrer que les suites de terme général $S_n^+$ et $S_n^-$ sont adjacentes.
gb
Re: Monotonie des sommes de Darboux
il y a onze années
avatar
Cela n'a rien d'évident. Je considère une fonction $f$ définie sur $[0,6]$ (pour ne pas avoir de dénominateurs à saisir...) :
$S_2^- = 3\left(\inf_{x\in[0,3]} f(x) + \inf_{x\in[3,6]} f(x)\right)$ et $S_3^- = 2\left(\inf_{x\in[0,2]} f(x) + \inf_{x\in[2,4]} f(x) + \inf_{x\in[4,6]} f(x)\right)$
Je suppose que f est nulle sur $[0,3]$, puis est décroissante strictement sur $[3,4]$, puis croissante strictement sur $[4,6]$, on a donc :
$S_2^- = 3\big(0 + f(4)\big) = 3f(4)$ et $S_3^- = 2\big(0 + f(4) + f(4)\big) = 4f(4)$.
Comme $f(4)<0$, on a $S_3^- < S_2^-$, et la suite $(S_n^-)$ n'est pas croissante.

Par contre, du fait que chaque intervalle est subdivisé en deux à chaque étape, donc que l'on contrôle l'évolution des bornes supérieures et inférieures, les suites $(S_{2^n}^-)$ et $(S_{2^n}^+)$ sont monotones, donc adjacentes.
monsieur.patate
Re: Monotonie des sommes de Darboux
il y a onze années
Ton exemple est troublant gb, mais je dois bien admettre que les suites ne semblent pas adjacentes...

Mais suffit-il alors, dans ce contexte (convergence des sommes de Riemann vers une limite que je définis comme étant l'intégrale), de montrer que les suites $(S_{2^n}^-)$ et $(S_{2^n}^+)$ sont adjacentes ? Puisque $(S_{n}^-)$ et $(S_{n}^+)$ ne le sont pas, pourrait-on aller jusqu'à dire qu'il faut travailler avec ces suites extraites et qu'il n'est pas possible de faire autrement ?
Re: Monotonie des sommes de Darboux
il y a onze années
Je ne suis pas du tout convaincu que tu gagnes quoi que ce soit à ne pas définir proprement les sommes de Darboux (et les sommes de Darboux, ça se définit avec des partitions ...) pour ensuite utiliser le théorème que j'ai donné précédemment.
gb
Re: Monotonie des sommes de Darboux
il y a onze années
avatar
Tu peux ne travailler qu'avec les suites extraites, ce qui oblige à ne considérer que des subdivisions de pas $\dfrac{b-a}{2^n}$...

Tu peux aussi essayer de montrer que les suites $(S_n^-)$ et $(S_n^+)$ sont de Cauchy, mais je ne sais pas si c'est vraiment plus pratique.
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