Monotonie des sommes de Darboux

Inutile de s'intéresser à la monotonie éventuelle des sommes de Darboux. Utilise le fait que $f$ est intégrable si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe une partition de ton intervalle pour laquelle la différence entre les sommes de Darboux est inférieure à $\varepsilon$ (voir par exemple le bouquin de Hairer et Wanner, Analysis by its history).

Cela n'a rien d'évident. Je considère une fonction $f$ définie sur $[0,6]$ (pour ne pas avoir de dénominateurs à saisir...) :
$S_2^- = 3\left(\inf_{x\in[0,3]} f(x) + \inf_{x\in[3,6]} f(x)\right)$ et $S_3^- = 2\left(\inf_{x\in[0,2]} f(x) + \inf_{x\in[2,4]} f(x) + \inf_{x\in[4,6]} f(x)\right)$
Je suppose que f est nulle sur $[0,3]$, puis est décroissante strictement sur $[3,4]$, puis croissante strictement sur $[4,6]$, on a donc :
$S_2^- = 3\big(0 + f(4)\big) = 3f(4)$ et $S_3^- = 2\big(0 + f(4) + f(4)\big) = 4f(4)$.
Comme $f(4)<0$, on a $S_3^- < S_2^-$, et la suite $(S_n^-)$ n'est pas croissante.

Par contre, du fait que chaque intervalle est subdivisé en deux à chaque étape, donc que l'on contrôle l'évolution des bornes supérieures et inférieures, les suites $(S_{2^n}^-)$ et $(S_{2^n}^+)$ sont monotones, donc adjacentes.

Je ne suis pas du tout convaincu que tu gagnes quoi que ce soit à ne pas définir proprement les sommes de Darboux (et les sommes de Darboux, ça se définit avec des partitions ...) pour ensuite utiliser le théorème que j'ai donné précédemment.