Monotonie des sommes de Darboux
Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction continue. Je voudrais partir de la définition suivante de l'intégrale : $\int_{a}^{b}f(x)\dx=\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta_k$
où $x_k=a+\dfrac{k}{n}(b-a)$ et $\Delta_k=x_{k+1}-x_{k}$
Le problème est de démontrer que cette limite existe bien. Pour cela, on considère les sommes de Darboux :
$S_n^+=\sum_{k=0}^{n-1}\sup\limits_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)\Delta_k$ et $S_n^-=\sum_{k=0}^{n-1}\inf\limits_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)\Delta_k$
L'idéal serait de démontrer que $S_n^+$ et $S_n^-$ sont adjacentes.
$\lim\limits_{n\to\infty}S_n^+-S_n^-=0$ : ça c'est très facile en utilisant l'uniforme continuité de $f$ sur $[a,b]$.
Problème : démontrer que $S_n^-$ est croissante et que $S_n^+$ est décroissante. Je n'ai trouvé aucune source qui le faisait proprement. Comment faire ? Merci.
où $x_k=a+\dfrac{k}{n}(b-a)$ et $\Delta_k=x_{k+1}-x_{k}$
Le problème est de démontrer que cette limite existe bien. Pour cela, on considère les sommes de Darboux :
$S_n^+=\sum_{k=0}^{n-1}\sup\limits_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)\Delta_k$ et $S_n^-=\sum_{k=0}^{n-1}\inf\limits_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)\Delta_k$
L'idéal serait de démontrer que $S_n^+$ et $S_n^-$ sont adjacentes.
$\lim\limits_{n\to\infty}S_n^+-S_n^-=0$ : ça c'est très facile en utilisant l'uniforme continuité de $f$ sur $[a,b]$.
Problème : démontrer que $S_n^-$ est croissante et que $S_n^+$ est décroissante. Je n'ai trouvé aucune source qui le faisait proprement. Comment faire ? Merci.
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Réponses
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)\Delta_k$
J'ai évité de parler de subdivisions (pas le temps, c'est une leçon capes), et je ne considère que des fonctions continues. Je ne définis pas la notion de fonction intégrable, puisque je ne travaille qu'avec des fonctions continues. Je veux juste, "à partir de rien" (concernant la théorie de l'intégration) démontrer que les suites de terme général $S_n^+$ et $S_n^-$ sont adjacentes.
$S_2^- = 3\left(\inf_{x\in[0,3]} f(x) + \inf_{x\in[3,6]} f(x)\right)$ et $S_3^- = 2\left(\inf_{x\in[0,2]} f(x) + \inf_{x\in[2,4]} f(x) + \inf_{x\in[4,6]} f(x)\right)$
Je suppose que f est nulle sur $[0,3]$, puis est décroissante strictement sur $[3,4]$, puis croissante strictement sur $[4,6]$, on a donc :
$S_2^- = 3\big(0 + f(4)\big) = 3f(4)$ et $S_3^- = 2\big(0 + f(4) + f(4)\big) = 4f(4)$.
Comme $f(4)<0$, on a $S_3^- < S_2^-$, et la suite $(S_n^-)$ n'est pas croissante.
Par contre, du fait que chaque intervalle est subdivisé en deux à chaque étape, donc que l'on contrôle l'évolution des bornes supérieures et inférieures, les suites $(S_{2^n}^-)$ et $(S_{2^n}^+)$ sont monotones, donc adjacentes.
Mais suffit-il alors, dans ce contexte (convergence des sommes de Riemann vers une limite que je définis comme étant l'intégrale), de montrer que les suites $(S_{2^n}^-)$ et $(S_{2^n}^+)$ sont adjacentes ? Puisque $(S_{n}^-)$ et $(S_{n}^+)$ ne le sont pas, pourrait-on aller jusqu'à dire qu'il faut travailler avec ces suites extraites et qu'il n'est pas possible de faire autrement ?
Tu peux aussi essayer de montrer que les suites $(S_n^-)$ et $(S_n^+)$ sont de Cauchy, mais je ne sais pas si c'est vraiment plus pratique.