Pour Richard André-Jeannin

Cela doit bien remonter à 20 ans en arrière (peut-être dans la rubrique "questions-réponses" de la RMS). Inutile de vous préciser que j'ai tout oublié de cette question, y compris le théorème de Lerch, que j'avais probablement trouvé dans un article ou un bouquin.
D'autres sauront peut-être vous renseigner.

Je ne connais pas ce résultat.


Ceci dit, cela me rappelle l'argument suivant dû à Christopher Pinner (1997).


De façon usuelle en arithmétique, notons $\psi(x) = x - [x] - 1/2 = x - E(x) - 1/2$. De plus, pour tout entier $N \geqslant 1$ et tous réels $\alpha \not \in \mathbb{Q}$ et $\beta$, posons :

$$S_N(\alpha,\beta) := \sum_{k=1}^{N} \psi(\alpha k + \beta).$$

On suppose que $\alpha$ a le développement en fraction continuée $\alpha = [a_0,a_1,a_2,\dotsc]$. On note $p_t / q_t$ la $t$-ème réduite qui converge vers $\alpha$.


Voici ce que Pinner démontre :


(i) Pour tout $N < q_t$, on a :

$$\left | S_N(\alpha,\beta) \right | < \frac {3}{2} \sum_{i=1}^{t} a_i.$$


(ii) Si $\sum_{i=1}^{t} a_i \leqslant At$ pour tout $t \geqslant 1$, alors on a pour tout $\beta \in \mathbb{R}$ et $N \geqslant 1$ :

$$\left | S_N(\alpha,\beta) \right | < \frac {1}{3} (A + 24) \log (3N).$$


(iii) On note $\lVert x \rVert$ la distance de $x$ à son entier le plus proche. Soit $r \geqslant 0$ et $f$ une fonction non décroissante telle que $q^{1+r} f(q) \lVert q \alpha \rVert >1$ pour tout $q \in \mathbb{N}$. Alors on a pour tout $\beta \in \mathbb{R}$ et $N \geqslant 1$ :

$$\left | S_N(\alpha,\beta) \right | < 4 N^{r/(1+r)} f(N)^{1/(1+r)} \log (3N).$$


(iv) Si $\alpha$ est algébrique, alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe une constante $c=c(\alpha,\varepsilon)>0$ telle que :

$$\left | S_N(\alpha,\beta) \right | < c N^{\varepsilon}.$$


Référence. {\bf C. Pinner}, {\it On sums of fractional parts} $\{n \alpha + \gamma \}$, J. Number Theory {\bf 65} (1997), 48--73.


J'espère que cela pourra t'aider. Le (ii) répond à ta première question.


Borde.