Produit de Wick
dans Les-mathématiques
Bonjour,
Je n'arrive pas bien à digérer le produit de Wick.
J'ai déjà manifester ma requête sur un autre fil, cependant celui-ci s'avère un peut long. J'utilise le polycopié d'{\O}ksendal.
Tout élément de
$$
L_2(\mu)=\{ X: \mathcal{S}' \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{tel que} \quad \||X\||_{L_2(µ)}^2 := \int_{\mathcal{S}'}X(\omega)^2d\,\mu(\omega ) < \infty\}.
$$
s'écrit sous la forme
$X(\omega)=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}H_{\alpha}(\omega)$, Où
$H_{\alpha}(\omega)=\prod_{j=1}^{j=n}h_{\alpha_j}(\theta_j)$ avec
$\theta_k(\omega)= \int_{\mathbb{R}}e_k(x) d\, W_x(\omega)$, où $e_k(x)$ et $h_{\alpha_j}$ sont repectivement le $k$-ième et $\alpha_j$-ième polynôme d'Hermite.
On définit l'espace test de Hida
$$
\mathcal{S}= \{f=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}H_{\alpha}: \displaystyle\sum_{\alpha \n \mathcal{I}}\alpha ! a_{\alpha}^2 \left( \prod_{j=1}^{\infty} (2j)^{\alpha_j} \right)^k < \infty; \quad k\in \mathbb{N}\}
$$
et pour définir le produit de Wick;
Si $X=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}H_{\alpha} \in (\mathcal{S})^*, \quad Y=\displaystyle\sum_{\beta}c_{\beta}H_{\beta}\in (\mathcal{S})^*$ alors le produit de Wick $X \lozenge Y$,de $X$ et $Y$ est donné par
$$
X \lozenge Y= \displaystyle\sum_{\alpha, \beta}a_{\alpha}b_{\beta}H_{\alpha + \beta}
$$
Hormis ce psittacisme présomptueux, j'ignore ce qu'est réellement un produit de Wick.
Je sollicite votre générosité afin de tire au clair cet enchevêtrement.
Cordialement.
Je n'arrive pas bien à digérer le produit de Wick.
J'ai déjà manifester ma requête sur un autre fil, cependant celui-ci s'avère un peut long. J'utilise le polycopié d'{\O}ksendal.
Tout élément de
$$
L_2(\mu)=\{ X: \mathcal{S}' \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{tel que} \quad \||X\||_{L_2(µ)}^2 := \int_{\mathcal{S}'}X(\omega)^2d\,\mu(\omega ) < \infty\}.
$$
s'écrit sous la forme
$X(\omega)=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}H_{\alpha}(\omega)$, Où
$H_{\alpha}(\omega)=\prod_{j=1}^{j=n}h_{\alpha_j}(\theta_j)$ avec
$\theta_k(\omega)= \int_{\mathbb{R}}e_k(x) d\, W_x(\omega)$, où $e_k(x)$ et $h_{\alpha_j}$ sont repectivement le $k$-ième et $\alpha_j$-ième polynôme d'Hermite.
On définit l'espace test de Hida
$$
\mathcal{S}= \{f=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}H_{\alpha}: \displaystyle\sum_{\alpha \n \mathcal{I}}\alpha ! a_{\alpha}^2 \left( \prod_{j=1}^{\infty} (2j)^{\alpha_j} \right)^k < \infty; \quad k\in \mathbb{N}\}
$$
et pour définir le produit de Wick;
Si $X=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}H_{\alpha} \in (\mathcal{S})^*, \quad Y=\displaystyle\sum_{\beta}c_{\beta}H_{\beta}\in (\mathcal{S})^*$ alors le produit de Wick $X \lozenge Y$,de $X$ et $Y$ est donné par
$$
X \lozenge Y= \displaystyle\sum_{\alpha, \beta}a_{\alpha}b_{\beta}H_{\alpha + \beta}
$$
Hormis ce psittacisme présomptueux, j'ignore ce qu'est réellement un produit de Wick.
Je sollicite votre générosité afin de tire au clair cet enchevêtrement.
Cordialement.
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Réponses
je crois que j'ai vu une application pour la construction d'une intégrale stochatsique par rapport à mouvement brownien fractionnaire mais il y a plusieurs constructions chacune ayant ses spécificités ( en particulier par rapport à la valeur du coefficient de Hurst).
Pour moi le produit de Wick est une sorte de crochet de dualité sur l'epsace test de Hida. Dans ton cas comme tu es sur espace reflexif est bien toute forme linéaire continue sur ton espace test s'écrit sous la forme que tu as écrite plus haut ( i.e. avec deux élément de l'espace) mais bon tout cela n'est pas très clair pour moi et je ne connais pas vraiment d'applications à part celle que j'ai mentionnée plus haut.
Je pense que tu connais déjà les références sur le sujet puisque tu cites le poly d'Oksendal, il me semble qu'il a co-écrit un bouquin sur le brownien fractionnaire où il montre la construction de l'intégrale sto par rapport à un brownien fractionnaire.
a+
Je vous prie de bien vouloir excuser le retard avec lequel je vous adresse mon message. D'abord je vous remercie beaucoup pour ce début de réponse !!
En fait, je lis et relis sans cesse le polycopié d'{\O}ksendal, néanmoins je patauge un peu.
Je décèle également dans la formule $X \lozenge Y= \displaystyle\sum_{\alpha, \beta}a_{\alpha}b_{\beta}H_{\alpha + \beta}$ un semblant de produit de convolution plutôt qu'un crochet de dualité.
En fait, le statut accordé aux fonctions test et distribution de Hida reste pour ma part extraordinairement ambigu, je trouve. Car sous la formes
$$
\mathcal{S}= \{f=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}H_{\alpha}: \displaystyle\sum_{\alpha \n \mathcal{I}}\alpha ! a_{\alpha}^2 \left( \prod_{j=1}^{\infty} (2j)^{\alpha_j} \right)^k < \infty; \quad k\in \mathbb{N}\}
$$ rien ne présage que de tels êtres auraient été crées afin qu'ils aient servi de semblant de fonctions à supports compactes.
Désolée si mes questions sembleront stupides mais je débute et je veux vraiment en savoir davantage.
Amicalement.
de Wick intervient en theorie quantique des champs pour calculer
des amplitudes de transitions, et c'est un outils essentiel permettant
la generation de ce qu'on appelle les diagrammes de Feynman (chaque
diagramme represente un des termes de l'amplitude de transition et
par un jeu de regles on determines l'ensemble des graphes d'une
transition pour ensuite calculer son amplitude).
A la base on considere les solutions de l'équation de Klein Gordon
decrivant le mouvement d'une particule scalaire dans le vide.
Les solutions generales s'ecrivent comme somme de 2 integrales,
chacune faisant intervenir une distribution. Dans le passage de la
mecanique quantique a la theorie des champs il y a l'introduction
d'annihilation/creation de particules. Pour les modeliser,
on remplace les distributions ci dessus par des distributions
a valeurs d'operateurs sur l'espace dit de Fock (on considere
un espace des etats H a une particule, si on en prend n fois
le produit tensoriel on a les etats à n particules et l'espace
de Fock est la somme (infinie) des espaces à n particules, n allant de
0 (etat du vide), a l'infini). Les 2 distributions que je mentionnais
sont maintenant les operateurs de creation / annihilation sur
l'espace de Fock et verifient $[a(k)^+,a(k')]=\delta(k-k')$ avec
des notations bien physiciennes... ;-)
Le calcul d'une amplitude de transition revient en quelque sorte
a prendre un polynome de solutions de Klein-Gordon qu'on evalue
sur l'etat du vide (je raccourcis). Or en developpant puisque chaque
solution fait intervenir une somme sur $a(k)$ et sur $a(k')^+$
on obtient des polynomes dans ces 2 operateurs evalues sur l'etat du vide
(par exemple $<0|a(k_1)a(k_2)^+a(k_3)^+a(k_4)|0>$).
Dans cette somme certains termes sont infinis mais non physiques car
correspondent a des transitions sans particule dans l'etat initial et
sans particule dans l'etat final (fluctuation du vide). On les
elimines par une procedure qui s'appelle produit de Wick, et qui consiste
pour tout monome comme dans l'exemple plus haut, on permute les
termes du produit de facon a avoir tous les $a(k)^+$ à droite
et tous les $a(k)$ à gauche (on note que $[a(k)^+,a(k')^+]=0$
et $[a(k),a(k')]=0$). Sur le fond le probleme vient de la construction
de produits de distributions, ce qui pose des problemes de
definition car elles peuvent avoir des singularités au meme point.
Au depart le produit de Wick est donc une procedure permettant de
regulariser ces produits sur la base d'arguments physiques.
Maintenant il faut aussi preciser que ces calculs ne servent
pas qu'a la physique des particules car le meme formalisme
s'applique dans la domaine de la physique statistique (transitions
de phases). Je ne saurais pas faire le lien direct avec la
definition rigoureuse presentée par par André mais je pense qu'il
s'agit bien du meme objet.
Eric
le produit de Wick est une manière de construire des polynômes (formels)
à plusieurs indéterminées en respectant les deux règles des polynômes d'Appell:
$P'_{n+1}=(n+1)P_n$
$<P_n(X)>=0$ (espérance)
Une fois ces polynômes construits , les produits de Wick , comme v.a, ont des propriétés probabilistes utiles pour décrire certaines sortes de chaos
(espaces de Wiener, espace de Fock)
ils permettent d'écrire des espaces de Hilbert gaussiens en somme directe,
les combinaisons des différentes puissances de Wick permettant d'écrire une v.a
relativement chaotique comme somme de vecteurs orthogonaux
d'un espace de Hilbert (somme directe)
Leurs constructions n'est pas de la combinatoire universelle (le terme est de moi) car le résultat du procédé de construction dépend très fortement des lois des différentes v.a (un peu comme si la définition de polynômes dépendaient du contenu de leurs variables)
exemples
$X^n=B_n(X)$ si X suit la loi uniforme sur [0;1] où $B_n$ est un Bernoulli
$X^n=H_n(X)$ si X suit la loi normale centrée réduite où $H_n$ est un Hermite.