Diagonalisation des matrices --> comment vérifier??
dans Les-mathématiques
Bonjours,j'ai un prtiel demain qui porte en partie sur les matrices à diagonaliser. En fait comme on vient de commencer, on nous demande pas des trucs très élaborés: juste calculer le polynôme caractéristique, les valeurs et vecteurs propres, et puis la diagonale...
Mais mon problème c'est que je fais toujours plein d'erreurs de calcul (allez disons 1 par ligne en moyenne), et justement les calculs sont très longs avec les matrices!!
Rien que pour calculer le polynôme caractéristique, je me plante toujours une dizaine de fois... et vu que c en général la première question, si g faux là g faux à tout le reste... donc ma question, c'est comment vérifier si le polynôme trouvé est juste? Quells équation doit-il vérifier au fond? Comment on sait qu'on va pas faire tout l'exo avec un polynôme faux!!
Et puis pendant qu'on y est, est-ce qu'il y a un moyen de vérifier si la diagonale trouvée à la fin est bonne avecune simple équation, idem pour la matrice de passage?
Y a t-il des calculs SIMPLES (parce-que si c'est pour se tromper en vérifiant autant pas vérifier) qui permettent de voir si on s'est tromper, pour chaque étape? ou bien est-ce que je fais de bo rêves!
Mais mon problème c'est que je fais toujours plein d'erreurs de calcul (allez disons 1 par ligne en moyenne), et justement les calculs sont très longs avec les matrices!!
Rien que pour calculer le polynôme caractéristique, je me plante toujours une dizaine de fois... et vu que c en général la première question, si g faux là g faux à tout le reste... donc ma question, c'est comment vérifier si le polynôme trouvé est juste? Quells équation doit-il vérifier au fond? Comment on sait qu'on va pas faire tout l'exo avec un polynôme faux!!
Et puis pendant qu'on y est, est-ce qu'il y a un moyen de vérifier si la diagonale trouvée à la fin est bonne avecune simple équation, idem pour la matrice de passage?
Y a t-il des calculs SIMPLES (parce-que si c'est pour se tromper en vérifiant autant pas vérifier) qui permettent de voir si on s'est tromper, pour chaque étape? ou bien est-ce que je fais de bo rêves!
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Réponses
$\rho(A) \leq \vert \vert A \vert \vert $ où $\rho(A)$ est le rayon spectral de la matrice A i.e le max en module des valeurs propres de la matrice A, ceci quelque soit la norme choisie.
Donc comme la norme 1 pour les matrices est la norme "colonne" et que la norme infinie est la norme "ligne", toute valeur propre (en module) doit etre inferieure a la somme des modules des elements de chaque ligne et aussi de chaque colonne....mais je ne suis pas sur que cet "encadrement" soit tres tres utile pour verification.
Il me semble que le conseil de Frederic de verifier l'invariance de la trace et aussi de verifier que tu as bien $Au = \lambda u$ (où $u$ est le vecteur propre associé a la valeur propre $\lambda$) est rapide et plutot efficace.
Maintenant j'espere ne pas avoir dit trop de betises....
$Au= \lambda u \rightarrow \vert \vert \lambda u \vert \vert = \vert \lambda \vert . \vert \vert u \vert \vert = \vert \vert Au \vert \vert \leq \vert \vert A \vert \vert . \vert \vert u \vert \vert$ cqfd
mais je ne suis pas sur qu'on ait beaucoup avancé:
Par contre je crois que toutes les méthodes que vous m(avez donné servent à vérifier si la diagonale est bonne non? ou les valeurs propres pour l'encadrement...
C déjà bien utile mais vous auriez pas une méthode pour vérifier que le polynôme caractéristique est le bon par hasard, comme c ce qu'on calcule au tout début, c'est surtout là que g peur de me tromper...
(si je vois que jme suis trompée au bout de 3 pages de calcul, jaurai un peu la haine ;-))
Bon de toute façon l'examen est passé...
(je vais vous avouer un truc: g rien vérifié finalement, mais merci quand même ça servira sûrement)
Alors concentre-toi un peu, m...
Je m'énerve, mais un de mes élèves de TS m'a soutenu que puisqu'il avait eu 15 en Français au bac en faisant un nombre incroyable de fautes d'orthographe, il pouvait bien faire des maths en étant nul en calcul. Faut dire que dans le dernier devoir, il a été infichu de calculer les racines carrées de 8 x + 9 pour x = 0 et x = 5...