Diagonalisation des matrices --> comment vérifier??

o+ · December 2003

Bonjours,j'ai un prtiel demain qui porte en partie sur les matrices à diagonaliser. En fait comme on vient de commencer, on nous demande pas des trucs très élaborés: juste calculer le polynôme caractéristique, les valeurs et vecteurs propres, et puis la diagonale...

Mais mon problème c'est que je fais toujours plein d'erreurs de calcul (allez disons 1 par ligne en moyenne), et justement les calculs sont très longs avec les matrices!!
Rien que pour calculer le polynôme caractéristique, je me plante toujours une dizaine de fois... et vu que c en général la première question, si g faux là g faux à tout le reste... donc ma question, c'est comment vérifier si le polynôme trouvé est juste? Quells équation doit-il vérifier au fond? Comment on sait qu'on va pas faire tout l'exo avec un polynôme faux!!
Et puis pendant qu'on y est, est-ce qu'il y a un moyen de vérifier si la diagonale trouvée à la fin est bonne avecune simple équation, idem pour la matrice de passage?
Y a t-il des calculs SIMPLES (parce-que si c'est pour se tromper en vérifiant autant pas vérifier) qui permettent de voir si on s'est tromper, pour chaque étape? ou bien est-ce que je fais de bo rêves!

Bosio Frederic · December 2003

Il y a quelques trucs simples. Par exemple verifier que la trace de ta matrice n'a pas change ni le determinant (si tu as calcule le polynome caracteristique, tu dois avoir le determinant). Tu peux aussi calculer les images de tes vecteurs propres par la matrice. C'est souvent rapide.

ricky · December 2003

oui c excat je crois savoir aussi que la plus grde valeur propres trouvée est comprise entre les sommes des differents termes d'une colonne ou d'une ligne (ie 1.1 +1.2 +1.3 +....) je sasi aps si j'ai eté tres clair mais c assez rapide . si qq'un se devoue pour etre plus clair...allez y

marc0 · December 2003

je ne sais pas si j'ai bien compris ce qu'a voulu dire ricky mais on a
$\rho(A) \leq \vert \vert A \vert \vert $ où $\rho(A)$ est le rayon spectral de la matrice A i.e le max en module des valeurs propres de la matrice A, ceci quelque soit la norme choisie.
Donc comme la norme 1 pour les matrices est la norme "colonne" et que la norme infinie est la norme "ligne", toute valeur propre (en module) doit etre inferieure a la somme des modules des elements de chaque ligne et aussi de chaque colonne....mais je ne suis pas sur que cet "encadrement" soit tres tres utile pour verification.

Il me semble que le conseil de Frederic de verifier l'invariance de la trace et aussi de verifier que tu as bien $Au = \lambda u$ (où $u$ est le vecteur propre associé a la valeur propre $\lambda$) est rapide et plutot efficace.
Maintenant j'espere ne pas avoir dit trop de betises....

ricky · December 2003

je crosi qu'il ay en plus une histoire de valeur absolue sinon c bien cela oui c assez simple à demontrer d'ailleurs javis fait cela en spe je crois

marc0 · December 2003

j'ai parlé de module parce qu'a priori on ne travaille pas forcement sur $\R$ mais le module d'un reel est bien entendu egal a sa valeur absolue et pour la demonstration attention les yeux:

$Au= \lambda u \rightarrow \vert \vert \lambda u \vert \vert = \vert \lambda \vert . \vert \vert u \vert \vert = \vert \vert Au \vert \vert \leq \vert \vert A \vert \vert . \vert \vert u \vert \vert$ cqfd

mais je ne suis pas sur qu'on ait beaucoup avancé:

o+ · December 2003

Merci déjà pour ces méthodes (je me souvenais plus du tout ce que c'était que la trace! ça m'a permis de revoir ça)

Par contre je crois que toutes les méthodes que vous m(avez donné servent à vérifier si la diagonale est bonne non? ou les valeurs propres pour l'encadrement...
C déjà bien utile mais vous auriez pas une méthode pour vérifier que le polynôme caractéristique est le bon par hasard, comme c ce qu'on calcule au tout début, c'est surtout là que g peur de me tromper...
(si je vois que jme suis trompée au bout de 3 pages de calcul, jaurai un peu la haine ;-))

Bosio Frederic · December 2003

Tu peux essayer de verifier que ta matrice est bien "racine" du polynome (i.e. appliquer Cayley-hamilton) mais cela t'oblige a calculer ses puissances et tu as sans daoute autant de chances de te tromper qu'en calculant le polynome lui-meme.

Mipmip · December 2003

si a la question suivante on te demande d'inverser la matrice, vérifie que le polynome n'est pas divisible par X...

Bruno Greco1 · December 2003

Et l'aide d'une calculatrice, peut-être?

o+ · December 2003

J'aimerai bien Bruno, mais la calculette est interdite en examen d'où le pb, (en plus je crois pas que la mienne les calcule) on est censé avoir un logiciel de calcul intégré dans la tête malheureusement ;-)

Bon de toute façon l'examen est passé...
(je vais vous avouer un truc: g rien vérifié finalement, mais merci quand même ça servira sûrement)

Eric Lafosse0 · December 2003

En tant que prof, je dirais que le meilleur moyen est encore de savoir calculer. Les erreurs de calculs dont tu parles sont sûrement stupides, à t'en mordre les doigts une fois que tu as reçu ta copie...

Alors concentre-toi un peu, m...

Je m'énerve, mais un de mes élèves de TS m'a soutenu que puisqu'il avait eu 15 en Français au bac en faisant un nombre incroyable de fautes d'orthographe, il pouvait bien faire des maths en étant nul en calcul. Faut dire que dans le dernier devoir, il a été infichu de calculer les racines carrées de 8 x + 9 pour x = 0 et x = 5...

Diagonalisation des matrices --> comment vérifier??

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