somme de cosinus

salut

il suffit de passer en complexe en ecrivant cos nt = Re exp(e^int)
on obtint alors une suite geometrique a part le premier terme (1)

le reste de l exo decoule de la.

Pour éviter de passer par l'exponentielle (c'est pas spécialement plus utile mais je trouve ça plus élégant et puis on n'a pas forcément envie d'introduire des complexes dans un problème qui se veut réel) :

On a:
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa ;
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa.
Donc en sommant ça donne :
sin(a)cos(b)=(sin(a+b)+sin(a-b))/2.
On remarque alors que :
sin(t)cos(kt)=(sin((k+1)t)-sin((k-1)t))/2.

On va donc calculer la somme suivante S=sin(t)(cos(t)+...+cos(nt)) qui va joliment se télescoper :
2*S = sin(2t)-sin(0) + sin(3t)-sin(t) + sin(4t)-sin(2t) + ... + sin((n-1)t)-sin((n-3)t) + sin((n+1)t)-sin((n-1)t)
Donc ça donne :
S=(sin((n+1)t) - sin(t))/2.

Finalement en divisant S par sin(t) (disons que sin(t) n'est pas nul) :
cos(t)+...+cos(nt) = [sin((n+1)t)/sin(t) -1]/2.

Aux erreurs de calculs près :>