somme de cosinus
Il s'agit de calculer, pour tout t appartenant à ]0,pi] :
cos(t)+cos(2t)+cos(3t)+...+cos(nt) (n entier naturel non nul)
puis de déterminer une constante L (qui vaut 1/2 je pense) telle que, pour tout t de ]0,pi] :
cos(t)+cos(2t)+...+cos(nt)= ( sin((n+1/2)t) / 2sin(t/2) ) - L
Merci
cos(t)+cos(2t)+cos(3t)+...+cos(nt) (n entier naturel non nul)
puis de déterminer une constante L (qui vaut 1/2 je pense) telle que, pour tout t de ]0,pi] :
cos(t)+cos(2t)+...+cos(nt)= ( sin((n+1/2)t) / 2sin(t/2) ) - L
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Réponses
il suffit de passer en complexe en ecrivant cos nt = Re exp(e^int)
on obtint alors une suite geometrique a part le premier terme (1)
le reste de l exo decoule de la.
calcule d'abord exp(it)+exp(2it)+...+exp(nit)
puis prend la partie réelle
On a:
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa ;
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa.
Donc en sommant ça donne :
sin(a)cos(b)=(sin(a+b)+sin(a-b))/2.
On remarque alors que :
sin(t)cos(kt)=(sin((k+1)t)-sin((k-1)t))/2.
On va donc calculer la somme suivante S=sin(t)(cos(t)+...+cos(nt)) qui va joliment se télescoper :
2*S = sin(2t)-sin(0) + sin(3t)-sin(t) + sin(4t)-sin(2t) + ... + sin((n-1)t)-sin((n-3)t) + sin((n+1)t)-sin((n-1)t)
Donc ça donne :
S=(sin((n+1)t) - sin(t))/2.
Finalement en divisant S par sin(t) (disons que sin(t) n'est pas nul) :
cos(t)+...+cos(nt) = [sin((n+1)t)/sin(t) -1]/2.
Aux erreurs de calculs près :>