Dégré de commutativité d'un groupe fini.
Bonjour,
je recherche des renseignements concernant le degré de commutativité d'un groupe fini.
Si possible en ligne.
Merci d'avance, amicalement. Jean-éric
je recherche des renseignements concernant le degré de commutativité d'un groupe fini.
Si possible en ligne.
Merci d'avance, amicalement. Jean-éric
Réponses
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qu'appelles-tu degré de commutativité? tu veux plutot parler de classe de nilpotence d'un groupe non?
François -
Pour faire simple, si on prend une table de multiplication d'un groupe, le degré de commutativité sera la proportion des cases pour lesquelles i*j = j*i.
Pour le groupe des quaternions dont une table est jointes ci-dessous , c'est la proportion des cases qui ne sont pas en rouge, soit (64-24)/64=5/8.
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V2 V5 V8 V3 V6 V1 V4 V7
V3 V4 V5 V6 V7 V8 V1 V2
V4 V7 V2 V5 V8 V3 V6 V1
V5 V6 V7 V8 V1 V2 V3 V4
V6 V1 V4 V7 V2 V5 V8 V3
V7 V8 V1 V2 V3 V4 V5 V6
V8 V3 V6 V1 V4 V7 V2 V5
Un travail plus complet a été fait par Anna Castelatz -
Bonsoir,
La thèse de A. Castelatz est le lien parfait; très lisible, en plus, ce qui n'est pas courant ! Avec des foules d'exemples complètement traités.
Est-ce qu'il existe quelque chose de ce genre pour les groupes infinis, donnant autre chose que p(G) = 0 pour tout G ?
Bien cordialement. -
Je me posais la même question...
Cependant, je pense qu'il y a aussi la possibilité p(G)=1 (par exemple, pour (R,+)) (:P) -
Bonjour,
Toujours est-il, merci bien gnayhoke pour ta réponse et le lien...même huit ans après (tu)
Amicalement. -
Bonjour,
@ bisam: je voulais dire une probabilité qui prenne d'autres valeurs que 0 et 1 (0 non il n'est pas commutatif, 1 oui il l'est). Peut-être que D. Saada pourrait nous renseigner ? Ou un probabiliste ?
En fait ma question est la classique qu'on pose en se réveillant à la fin d'un d'un séminaire où l'on n'a rien compris: "ça se généralise ?".
@ bs: ça change des journaux actuels où l'on ne trouve jamais (*) de suite à un événement aussi important soit-il; le lendemain, les journalistes ont oublié ce qui était si important la veille. Civilisation de l'instant, ça s'appellerait ...
(*) Il y a quelques exceptions: DSK par exemple.
Bien cordialement. -
Pour les groupes infinis, je n'ai pas les moyens techniques de répondre à la question.
Je crois cependant qu'un spécialiste des groupes topologiques qui s'intéresse un peu à la commutativité pourrait y répondre.
Un début pourrait être de s'intéresser au groupe des matrices inversibles Mn(C) -
Pour que la question pour les groupes infinis ait un sens, il faut considérer uniquement les groupes compacts munis de la mesure de Haar, qui est bien une mesure de probabilité.
On a certainement des exemples de $p(G)\notin \{0,1\}$ avec $G=C\times H$ où $C$ est un groupe abélien et $H$ est un groupe fini non abélien.
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Bonjour!
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