Les années à 13 lunes
dans Les-mathématiques
Bonne année?
En 2010, Nous ne compterons que 12 Pleines Lunes.
En effet, la dernière pleine lune de 2009 s'est produite le 31 décembre à 20h13, heure française.
On peut donc remarquer que pour certains forumeurs habitant plus à l'est cette pleine lune compte pour la première de 2010 et que, pour eux, cette année comptrera 13 PL.
2010 sera-t-elle pour autant une bonne ou une mauvaise année, je n'en sais rien, mais on imagine volontiers que des superstitions sont attachées à ces années à 13 lunes. Il s'avère que les années à 13 lunes sont relativement fréquentes.
J'ai donc posé la question du calcul de cette fréquence dans le fil Joyeux Noël 2009 et Bonne Année 2010...
Voici ce que m'a répondu qadassi:
L'idée est intéressante:
La durée moyenne d'une année est environ 365,25 jours et celle d'une lunaison est environ 29,53 jours.
On observe que 19 ans font 6939,75 jours ce qui correspond à peu près à 235 lunaisons: 235*29,53=6939,55
Voici ce que ça donne pour les 19 années à venir:
En 2010, Nous ne compterons que 12 Pleines Lunes.
En effet, la dernière pleine lune de 2009 s'est produite le 31 décembre à 20h13, heure française.
On peut donc remarquer que pour certains forumeurs habitant plus à l'est cette pleine lune compte pour la première de 2010 et que, pour eux, cette année comptrera 13 PL.
2010 sera-t-elle pour autant une bonne ou une mauvaise année, je n'en sais rien, mais on imagine volontiers que des superstitions sont attachées à ces années à 13 lunes. Il s'avère que les années à 13 lunes sont relativement fréquentes.
J'ai donc posé la question du calcul de cette fréquence dans le fil Joyeux Noël 2009 et Bonne Année 2010...
Voici ce que m'a répondu qadassi:
qadassi a écrit:Premier Indice pour la question de Jacquot: tous les 19 ans, la Lune et la Terre sont de nouveau aux mêmes positions dans le repère héliocentrique.
La fréquence sera donc en x/19... Merci au logiciel Stellarium
L'idée est intéressante:
La durée moyenne d'une année est environ 365,25 jours et celle d'une lunaison est environ 29,53 jours.
On observe que 19 ans font 6939,75 jours ce qui correspond à peu près à 235 lunaisons: 235*29,53=6939,55
Voici ce que ça donne pour les 19 années à venir:
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Réponses
Effectivement, un cycle lunaire, une lunaison donc, se déroule en moyenne en 29,5 jours. 12 cycles font donc 354 jours, soit onze jours de moins que l’année solaire.
Par conséquent, si on a une pleine lune dans les onze premiers jours de janvier, l’année sera à treize lunes. La première pleine lune de janvier cette année aura lieu le 30, dixit le calendrier de mon facteur! Ce n'est pas une année 13 lunes.
Si on admet l'équirépartition des pleines lunes sur tous les jours de janvier, on peut donc considérer que dans 11 cas sur 31 on aura une année à 13 lunes.
Sauf que cette équirépartition est fausse, au moins sur des intervalles de temps de l'ordre quelques dizaines d'années. Car il existe un cycle (dit de Méton) de 19 ans au bout duquel le cycle lunaire revient aux mêmes dates dans l'année... donc la nouvelle lune ou la pleine lune n'arrive que sur seulement 19 dates de janvier... et non 31!
Il faut donc aller plus loin et considérer ce qu'on appelle l'épacte de l'année, qui est écrit en tout petit au bas du mois de février dans le calendrier des postes (allez-y voir, c’est là qu’il y a le plus de place car février est un petit mois) : l’épacte est de 15 en 2010, ce qui signifie que la lune a 15 jours au premier janvier, ou encore qu'il s'est écoulé 15 jours depuis la nouvelle lune le premier janvier de l'année considérée…
Par conséquent, la première nouvelle lune de janvier aura donc lieu le 15 (15, épacte à laquelle il manque 15 pour arriver aux 30 jours de la lunaison... en janvier on compte habituellement la lunaison à 30 jours, à d'autre mois 29 pour équilibrer et arriver à une lunaison moyenne de 29,5).
Plus généralement, si l'épacte est E, la date de la première nouvelle lune de janvier est 30 - E et celle de la première pleine lune est 30 - E + 15 (15 jours plus tard, la moitié de la lunaison), soit 45 - E que l'on peut compter modulo 31. Ainsi si E vaut 15 comme cette année, on retrouve bien la date de la pleine lune le 30 janvier pour cette année. SI E vaut 2, cela donne le 43 janvier, ou 12 février, pour la nouvelle lune ou en retirant 30 pour viser la lunaison précédente, le 13 janvier.
Enfin on sait que le cycle des épactes est actuellement:
29,10, 21,2,13, 24,5,16,27,8,19,0,11,22,3,14,25,6,17
... on remarque que l'on passe d'une épacte à la suivante en ajoutant 11 modulo 30... sauf pour repasser de 17 à 29... Il est clair que si la lune à 10 jours le 1er janvier d'une année, l'année d'après, elle en a 11 de plus c'est-à-dire 21 d'après le décalage de 11 jours entre les 12 lunaisons et la durée de l'année.
Bref, d'après ce que j'ai dit plus haut, je peux calculer la date de la pleine lune correspondant aux différentes épactes soit:
16, 5, 24,13,2,21,10,29,18,7,26,15,4,23,12,1,20,9,28
(modulo 30 on retrouve le même décalage de 11 jours).
Finalement, on aura une année de 13 lunes lorsque la nouvelle lune arrive le 11 janvier ou avant, soit dans 7 cas sur 19. On retrouve de toute façon une proportion assez proche de 1/3.
De là à dire que ce sont des années à catastrophes... bon why not, les catastrophes sont de toute façon suffisamment répandues de par le monde pour qu'on puisse les associer à n'importe quoi...
Bien amicalement, et bonne année à 12 lunes
Christian
"De deux choses l'une: l'autre c'est le soleil" (Jacques Prévert)
Voila comment j'ai compris ton calcul: 1 année solaire est de 365.25 jours, si un mois lunaire est de 29.53jours, 12*29.53=354.36, il reste 10.89jours favorabe à la 13e pleine lune sur un mois de 29.53jours d'ou la probabilité de 0.386.
Ou encore, sur 19 ans, il y a 6939.75jours et sur ces 6939.75jours, il y a 235 pleines lunes avec exactement 19 année à 12 PL, il y aura donc 7 treizieme PL pour les 19 années d'où une probabilité de 0.386.
L'exactitude du résultat tient à l'exactitude des cycle de révolution lunaire, et alors probabilité et fréquence sont égales.
Cordialement
réedition: Excuse moi Christian, je viens de voir que tu avais répondu à la question de jacquot alors que j'étais entrain d'éditer ma réponse.
Au demeurant, mon calcul conduit à 7/19, ton premier calcul donne 10.89/29.53... ce qui donne 0.368 pour les deux... Même fréquence ou quasiment.
Ta deuxième approche me paraît finalement bien plus synthétique et intéressante: 19 fois 12 donne 228... il reste bien 7 pour arriver à 235, ce qui impose 7 années à 13 lunes sur 19 pour que cela fonctionne... ce que je retrouve précisément avec mon calcul d'épacte...
Bien amicalement,
Christian
Merci Jacquot pour ce développement lunaire.
Il est vrai qu'il existe quelques mentions en bas du mois de février sur le calendrier de La Poste, il n'y a donc pas que les plans des grandes villes dans ce calendrier.
Christian, sur les calendriers provençaux, l'épacte pour 2010 est de 14; c'est vrai qu'on y retrouve d'autres notions comme le nombre d'or que tu avais déjà utilisé pour nous expliquer la formule de Gauss permettant de déterminer la date de Pâques.
Merci qadassi pour avoir signalé l'existence du site Stellarium qui parait plus qu'intéressant
Amicalement.
Curieusement, le calendrier provençal dont tu parles donne l'épacte julienne, celle du calendrier julien donc qui a précédé le calendrier grégorien. Je n'en ai pas la raison, car j'imagine, ton calendrier aussi provençal qu'il soit est bien grégorien...
Evidemment, cette valeur n'a plus grand chose à voir avec la lune actuelle. C'était un des problèmes de l'ancien calendrier julien: réaccorder la lune et le calendrier, pour caler la date de Pâques. Il y a donc eu un premier saut d'épacte au moment du changement de calendrier en 1582, il y en a aussi à chaque changement de siècle.
Sinon l'épacte prend toujours 19 valeurs correspondant au cycle de Méton décrit précédemment (et dont le calcul a été indiqué plus haut).
Bonne journée, sous la neige à Rouen!
Christian
Merci Christian et qadassi pour vos réponses.
Ce cycle de 19 ans est bien intriguant, par delà le rythme des années bissextiles...
cela voudrait dire que les cycles de la Lune et du Soleil sont commensurables dans le rapport 19/235
Comme je le mentionnais plus haut, il s'en est fallu de peu que 2010 ne compte 13 PL.
Selon mes calculs avec EXCEL il semblerait qu'en 2048 ce cycle sera modifié.
*: a bs, attention à stellarium, car tu risques de dépenser une fortune en voulant acheter un telescope tellement tu seras accro à contempler le ciel
Le mouvement de la lune est très irrégulier et la durée de la lunaison peut varier de quelques heures, 5 ou 6, autour des 29,5 jours. Ce qui veut dire que les prévisions à trop long terme risque d'être faussées. Et puis comme le soulignait Jacquot, on peut avoir des lunaisons que l'on peut prévoir très près de la fin de l'année, et qui basculeront à l'année suivante.
Logiquement, 2048, espacée de 2010 de 2 fois 19 ans ne devrait pas avoir 13 lunes, mais 12 comme en 2010, mais comme il s'en faut à chaque fois de très peu, ce n'est pas impossible. C'est peut-être ce que prend en compte cette simulation de Jacquot.
SInon autre remarque: les développements en fraction continue montrent que le quotient 365,242199 par 29,530588 (année solaire en jour / lunaison en jours) est très proche de 235/19 d'autant plus proche que dans le développement, le nombre qui suit, 17, est relativement grand
En d'autres termes, 235 lunaisons sont très proches de 19 année solaires. C'est précisément le cycle de Méton.
De là à dire que le rapport de ces deux grandeurs est commensurable... je parierais plutôt le contraire, si tant est que cela ait un sens d'ailleurs car ces deux grandeurs sont fluctuantes et ne sont connues là que par leur moyenne.
Bien amicalement,
Christian
PS: effectivement bs, merci à Qadassi d'évoquer le logiciel stellarium, gratuit qui me paraît très intéressant!
Pour toutes ces précisions.
Je crois que nous avons largement répondu à la question initiale (fréquence des années à 13 PL qui est , allez, disons de 37%), mais c'est toujours un plaisir de discuter avec des passionnés. Ici, il me semble que chacun des intervenants l'est à sa façon.
L'hypothétique PL supplémentaire de 2048 aura été volée à 2047, donc notre fréquence ne s'en trouvera pas altérée de façon sensible.
Le développement en fraction continue est joli. Je pourrai m'intéresser à l'obtention de telles expressions pour remotiver mes collégiens au calculs de fractions.
Sur la question de la commensurabilité des périodes des corps célestes, on pourra discuter cette hypothèse: depuis le temps que toute cette mécanique fonctionne, n'est-il pas plausible que telles ou telles pièces soient entrées en résonnance?
Bonne année à tous.
jacquot
Quant à savoir si la résonance dont tu parles aurait provoqué à la "relative" commensurabilité de certains quotients, j'avoue ne pas avoir d'idées la-dessus. Mais ce n'est pas impossible. On rejoint là l'harmonie des sphères chère à Képler.
Bon week-end,
Christian
Pour Jacquot, une remarque : La notion de commensurabilité des périodes orbitale n'a rien à voir avec la notion mathématique car les périodes orbitales sont des mesures physiques, donc des approximations décimales.
Cependant dans la modélisation mathématique du système solaire, cette notion joue un rôle important, et des résonnances existent, et ont existé. Voir les astrophysiciens, qui expliquent l'état actuel du système solaire ainsi.
Cordialement.
NB : C'est assez révélateur du rapport aux maths de la physique d'expliquer dans le modèle une situation par une notion qui n'a pas de sens dans la réalité concrète.
De plus, les mesures en question sont des moyennes et ne correspondent pas vraiment à des constantes: par exemple, la lunaison de durée théorique 29 jours 12 heures varie en fait très couramment et sur de petites périodes entre 29 jours 6 heures et 29 jours 18 heures. Le calendrier des postes le prouve. Il est vrai que la lune est un des astres les plus capricieux du ciel... mais il en est de même de la durée de l'année solaire sur des fluctuations plus petites il est vrai.
Le problème de la commensurabilité de la période de la lunaison et de la durée de l'année solaire n'a donc pas vraiment de sens pour la bonne et simple raison que nous n'avons même pas affaire à de véritables constantes. Ceci étant, que des résonnances disons mécanique existent, c'est incontestable. Par exemple, le fait que la lune présente toujours la même face vers nous est un exemple de la stabilité à laquelle nous sommes parvenus aujourd'hui. Mais je ne sais pas si le mot de résonnance convient ici. Un physicien dirait sûrement autrement les choses.
Ce qui est rigolo ici, c'est l'application des fractions continues dans un domaine inattendu: des maths pures qui permettent de deviner une coincidence peu visible...
Bien cordialement,
Christian
PS: ceci étant, Gérard, la plupart des constantes physiques, j'entends par là des vraies constantes, comme par exemple la vitesse de la lumière dans le vide, sont très probablement des nombres irrationnels, dont nous ne connaitrons à jamais qu'une valeur décimale... à part pi d'alleurs... si on peut la considérer comme un constante physique...
c'est à dire que s'il y avait eu éclipse il y a la possibilité d'en avoir une suivante
ou que les éclipses sont possibles tous les multiples de 19 ans (ou 235 lunaisons)
Seconde question
l'orbite de la lune oscille par rapport à un axe ou c'est l’oscillation de la terre (ou les deux) qui ferait qu’après une éclipse il ne se produit pas la suivante 19 ans plus tard.
La raison de mes questions est en rapport avec le codex de Dreden, pour le comput maya des cycles lunaires
Merci d'avance de votre éventuelle réponse
christian
Tu interviens dans une discussion datant d'environ deux ans...
La problématique des éclipses n'est pas tout à fait la même, je vais essayer de faire simple:
Si les plans de révolutions de la Lune (plan de l'orbite lunaire) autour de la Terre et celui de la Terre autour du Soleil (plan écliptique) étaient confondus, il y aurait une éclipse de Lune à chaque Pleine Lune et une éclipse de Soleil à chaque Nouvelle Lune.
Mais le plan de l'orbite lunaire est incliné de 5° par rapport au plan écliptique, ce qui fait qu'à la plupart des PL, la Lune ne passe pas devant le Soleil.
L'occultation de la lumière du Soleil n'est possible que si la PL se produit quand la direction du Solei est voisine d'un Noeud de l'orbite lunaire.
Alors effectivement, tous les 235 mois environ, Lune, Terre et Soleil se retrouvent dans la même position relative pour notre question de calendriers...
Cependant, le mouvement de rotation de la Lune est empreint d'un phénomène de précession qui fait que la direction du noeud n'est plus tout à fait la même au bout de cette période, mais que cette période se ramène à 223 mois, soit un peu plus de 18 ans pour la répétition des éclipses.
Pour en savoir plus, je te renvoie à google pour des recherches sur la périodicité des éclipses, du saros (223 lunaisons), ou du mouvement de précession..
Amicalement.
jacquot