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Trigonométrie hyperbolique

Envoyé par isoz 
Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
Bonjour

Petite question pertinente : est-ce qu'il existe un analogue de l'étude géométrique des fonctions de la trigonométrie du cercle dans cercle mais pour la trigonométre hyperbolique dans l'hyperbole ??

Effectivement, on pourrait se dire à priori comme il existe un théorème de pythagore dans le cercle trigonométrique :

cos2(x)+sin2(x)=1 <==> X^2+Y^2=1 (équation d'un cercle centré à l'origine de rayon unité)

et dans l'hyperbole :

cosh2(x)-sinh2(x)=1 <==> X'^2-Y'^2=1 (équation d'une hyperbole équipotent ede sommet à l'origine)

Je pensais que l'on pouvait représenter les valeurs de cosh(x) et sinh(x) dans une hyperbole pour un angle donné comme on le fait pour le cercle mais je vois pas trop comment (2 sites sur le web y font allusion mais sans aucune démonstration).

Merci pour vos lumières
<!--latex-->tu parle de la conique géométrique qui n'a rien avoir avec les fcts hyperbolique (malgré que les deux donne la meme réponse<BR>
je parle des deux puisque elles ont même expression à ma connaissance (à part qu'une se construit géométriquement et l'autre analytiquement)
matthieu
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
<latex> Salut,

voici un lien possible entre hyperbole et trigonométrie hyperbolique

Dans $\R^2$ muni de la norme euclidienne, la sphère unité est le cercle, le groupe des transformations orthogonales est constitué des matrices de rotations
cos(x) sin(x)
-sin(x) cos(x)
et l'on peut définir ainsi cos et sin.
Si dans $\R^2$ on considère la forme quadratique $y^2-x^2$, pour cette fq la sphère unité est l'hyperbole $y^2-x^2=1$ et le groupe des déplacements (positifs) de cet espace est $SO(1,1)$, constitué des matrices + ou -
ch(x) sh(x)
sh(x) ch(x)
x est dit angle hyperbolique.
JJ
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
Bonjour,

Il y a une représentation graphique intéressante. Une figure est nécessaire. Le temps de terminer une autre affaire en cours et je vais m'y mettre.
A ce soir probablement.
tu me mets l'eau à la bouche là... j'attends avec impatience alors (vivement ce soir)
Al Bundy
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
dans le grand livre de géométrie de Berger il y a deux pages sur la géométrie hybperbolique dans un plan où il y a des choses qui peuvent t'interesser
Julien
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
Attention ! L'abus de géométrie hyperbolique est dangereuse pour la santé (maux de crâne en tout genre), à utiliser avec parcimonie ...
JJ
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
Explications concernant la figure jointe :

Pour tracer à la règle et au compas le point P de l'hyperbole :
On se donne x , donc le point A(x, 0).
On trace la tangente au cercle (C), ce qui donne le point de tangence T.
On trace le cercle (G) de centre A et passant par T.
Ce cercle coupe en P(x,y) la perpendiculaire en A à Ox.

On voit apparaitrre sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant à x=ch(t), y=sh(t), mais aussi th(t), coth(t), etc. Entre autres, le cercle (G) coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont exp(t) et exp(-t).


<latex>[...]On voit apparaitrre sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant à x=ch(t), y=sh(t), mais aussi th(t), coth(t), etc. Entre autres, le cercle (G) coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont exp(t) et exp(-t).

Peut tu démontrer ces affirmations (la figure est superbe ceci dit !!!). Ce qui me fait un peu souci c'est que sauf erreur de ma part, sh peut être un nombre complexe alors que là tu travailles exclusivement dans $\R$$^2$
Juste une petite question (j'avais fait quelques dév. au préalable). Le foyen de ton hyperbole ci-dessus, elle serait pas placée en (sqrt(2),0) par hasard ? (ce serait trop beau...)
Au fait, ce résultat provient du fait que en trigonométrie du cercle on a après changement de variables :

X^2+Y^2=1 ce qui est un cercle de rayon unité centre à l'origine

et en trigonométrie hyperbolique après changement de variable :

X^2-Y^2=1 ce qui est une hyperbole de sommet à l'origine et de foyer placé en (sqrt(2),0).

Je me demandais si on pouvait tirer quelque chose de ce résultat (j'aurai trouvé ça joli...)
JJ
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
Bonjour,

toutes les indications données sur la figure se calculent très facilement par de simples relations dans les triangles (Pythagore, similitudes,...) et les formules classiques :
ch(t) = (exp(t)+exp(-t))/2 ; sh(t) = (exp(t)-exp(-t))/2 ; ch²(t)-sh²(t)=1 etc.
On pourait ajouter sur la figure OP = ch(2t) car ch(2t)=ch²(t)+sh²(t)
Les foyers de l'hyperbole sont bien (-V2, 0) et (V2, 0) avec V2=racine carrée de 2. Il suffit de calculer les distances entre ces points et le point P : la différence est constante = 2.
Quant à l'utilisation de ce schéma, on pourrait au moins en tirer un exercice (facile) de cours au niveau d'études correspondant.
JJ
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
il y a une faute de frappe évidente dans mon message précédent :
Il faut lire OP² = ch(2t) ( le ² manquait)
C'est génial JJ. Merci d'avoir confirmé mes calculs et merci énormément encore pour ce magnifique schéma que je vais m'empresser de mettre sur mon site web.
JJ
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
Une propriété interressante résulte du fait que les projections du point P de l'hyperbole sur ses asymptotes OX et OY sont en proportions avec exp(t) et exp(-t) respectivement.
Si on gradue les asymptotes avec des échelles exponentielles (inverse d'échelle logarithmique), on peut lire directement (t) sur l'une ou l'autre de ces échelles : L'une donnant une lecture plus précise que l'autre selon la position du point P.
On construit ainsi une sorte d'abaque qui donne (t) lorsqu'on part de x=ch(t), ou y=sh(t), ou y/x=th(t). Autrement dit, on obtient graphiquement les valeurs de argch(x), argsh(y), argth(y/x) respectivement.
Inversement, si on par d'une valeur de (t) sur l'échelle graduant OX ou OY, la construction graphyque en sens inverse donne les valeurs de ch(t), sh(t), th(t), etc.


Bonjour JJ
j'aimerais savoir quel outil a été utilisé pour faire les dessins.
Merci d'avance
JJ
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a onze années
C'est un programme personnel qui n'est pas du tout convivial : autrement dit, pour le faire marcher, il faut pouvoir "bidouiller" dedans avec un complilateur Pascal évolué (Delphi). Ce qui veut à peu près dire qu'il n'y a que celui qui l'a écrit qui peut y retrouver ses petits (et encore, les bons jours, avec de la chance, etc.).
Un cas typique de ce qu'il ne faut pas faire en programmation !
ooouuuahhh ca fait peur vos truc!!!!
dgil
Re: Trigonométrie hyperbolique
il y a dix années
cos0+sin10=sin0+cos0
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