Trigonométrie hyperbolique
dans Les-mathématiques
Bonjour
Petite question pertinente : est-ce qu'il existe un analogue de l'étude géométrique des fonctions de la trigonométrie du cercle dans cercle mais pour la trigonométre hyperbolique dans l'hyperbole ??
Effectivement, on pourrait se dire à priori comme il existe un théorème de pythagore dans le cercle trigonométrique :
cos2(x)+sin2(x)=1 <==> X^2+Y^2=1 (équation d'un cercle centré à l'origine de rayon unité)
et dans l'hyperbole :
cosh2(x)-sinh2(x)=1 <==> X'^2-Y'^2=1 (équation d'une hyperbole équipotent ede sommet à l'origine)
Je pensais que l'on pouvait représenter les valeurs de cosh(x) et sinh(x) dans une hyperbole pour un angle donné comme on le fait pour le cercle mais je vois pas trop comment (2 sites sur le web y font allusion mais sans aucune démonstration).
Merci pour vos lumières
Petite question pertinente : est-ce qu'il existe un analogue de l'étude géométrique des fonctions de la trigonométrie du cercle dans cercle mais pour la trigonométre hyperbolique dans l'hyperbole ??
Effectivement, on pourrait se dire à priori comme il existe un théorème de pythagore dans le cercle trigonométrique :
cos2(x)+sin2(x)=1 <==> X^2+Y^2=1 (équation d'un cercle centré à l'origine de rayon unité)
et dans l'hyperbole :
cosh2(x)-sinh2(x)=1 <==> X'^2-Y'^2=1 (équation d'une hyperbole équipotent ede sommet à l'origine)
Je pensais que l'on pouvait représenter les valeurs de cosh(x) et sinh(x) dans une hyperbole pour un angle donné comme on le fait pour le cercle mais je vois pas trop comment (2 sites sur le web y font allusion mais sans aucune démonstration).
Merci pour vos lumières
Réponses
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<!--latex-->tu parle de la conique géométrique qui n'a rien avoir avec les fcts hyperbolique (malgré que les deux donne la meme réponse<BR>
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je parle des deux puisque elles ont même expression à ma connaissance (à part qu'une se construit géométriquement et l'autre analytiquement)
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Salut,
voici un lien possible entre hyperbole et trigonométrie hyperbolique
Dans $\R^2$ muni de la norme euclidienne, la sphère unité est le cercle, le groupe des transformations orthogonales est constitué des matrices de rotations
cos(x) sin(x)
-sin(x) cos(x)
et l'on peut définir ainsi cos et sin.
Si dans $\R^2$ on considère la forme quadratique $y^2-x^2$, pour cette fq la sphère unité est l'hyperbole $y^2-x^2=1$ et le groupe des déplacements (positifs) de cet espace est $SO(1,1)$, constitué des matrices + ou -
ch(x) sh(x)
sh(x) ch(x)
x est dit angle hyperbolique. -
Bonjour,
Il y a une représentation graphique intéressante. Une figure est nécessaire. Le temps de terminer une autre affaire en cours et je vais m'y mettre.
A ce soir probablement. -
tu me mets l'eau à la bouche là... j'attends avec impatience alors (vivement ce soir)
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dans le grand livre de géométrie de Berger il y a deux pages sur la géométrie hybperbolique dans un plan où il y a des choses qui peuvent t'interesser
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Attention ! L'abus de géométrie hyperbolique est dangereuse pour la santé (maux de crâne en tout genre), à utiliser avec parcimonie ...
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Explications concernant la figure jointe :
Pour tracer à la règle et au compas le point P de l'hyperbole :
On se donne x , donc le point A(x, 0).
On trace la tangente au cercle (C), ce qui donne le point de tangence T.
On trace le cercle (G) de centre A et passant par T.
Ce cercle coupe en P(x,y) la perpendiculaire en A à Ox.
On voit apparaitrre sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant à x=ch(t), y=sh(t), mais aussi th(t), coth(t), etc. Entre autres, le cercle (G) coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont exp(t) et exp(-t). -
[...]On voit apparaitrre sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant à x=ch(t), y=sh(t), mais aussi th(t), coth(t), etc. Entre autres, le cercle (G) coupe l'axe Ox en deux points dont les abscisses sont exp(t) et exp(-t).
Peut tu démontrer ces affirmations (la figure est superbe ceci dit !!!). Ce qui me fait un peu souci c'est que sauf erreur de ma part, sh peut être un nombre complexe alors que là tu travailles exclusivement dans $\R$$^2$ -
Juste une petite question (j'avais fait quelques dév. au préalable). Le foyen de ton hyperbole ci-dessus, elle serait pas placée en (sqrt(2),0) par hasard ? (ce serait trop beau...)
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Au fait, ce résultat provient du fait que en trigonométrie du cercle on a après changement de variables :
X^2+Y^2=1 ce qui est un cercle de rayon unité centre à l'origine
et en trigonométrie hyperbolique après changement de variable :
X^2-Y^2=1 ce qui est une hyperbole de sommet à l'origine et de foyer placé en (sqrt(2),0).
Je me demandais si on pouvait tirer quelque chose de ce résultat (j'aurai trouvé ça joli...) -
Bonjour,
toutes les indications données sur la figure se calculent très facilement par de simples relations dans les triangles (Pythagore, similitudes,...) et les formules classiques :
ch(t) = (exp(t)+exp(-t))/2 ; sh(t) = (exp(t)-exp(-t))/2 ; ch²(t)-sh²(t)=1 etc.
On pourait ajouter sur la figure OP = ch(2t) car ch(2t)=ch²(t)+sh²(t)
Les foyers de l'hyperbole sont bien (-V2, 0) et (V2, 0) avec V2=racine carrée de 2. Il suffit de calculer les distances entre ces points et le point P : la différence est constante = 2.
Quant à l'utilisation de ce schéma, on pourrait au moins en tirer un exercice (facile) de cours au niveau d'études correspondant. -
il y a une faute de frappe évidente dans mon message précédent :
Il faut lire OP² = ch(2t) ( le ² manquait) -
C'est génial JJ. Merci d'avoir confirmé mes calculs et merci énormément encore pour ce magnifique schéma que je vais m'empresser de mettre sur mon site web.
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Une propriété interressante résulte du fait que les projections du point P de l'hyperbole sur ses asymptotes OX et OY sont en proportions avec exp(t) et exp(-t) respectivement.
Si on gradue les asymptotes avec des échelles exponentielles (inverse d'échelle logarithmique), on peut lire directement (t) sur l'une ou l'autre de ces échelles : L'une donnant une lecture plus précise que l'autre selon la position du point P.
On construit ainsi une sorte d'abaque qui donne (t) lorsqu'on part de x=ch(t), ou y=sh(t), ou y/x=th(t). Autrement dit, on obtient graphiquement les valeurs de argch(x), argsh(y), argth(y/x) respectivement.
Inversement, si on par d'une valeur de (t) sur l'échelle graduant OX ou OY, la construction graphyque en sens inverse donne les valeurs de ch(t), sh(t), th(t), etc. -
Bonjour JJ
j'aimerais savoir quel outil a été utilisé pour faire les dessins.
Merci d'avance -
C'est un programme personnel qui n'est pas du tout convivial : autrement dit, pour le faire marcher, il faut pouvoir "bidouiller" dedans avec un complilateur Pascal évolué (Delphi). Ce qui veut à peu près dire qu'il n'y a que celui qui l'a écrit qui peut y retrouver ses petits (et encore, les bons jours, avec de la chance, etc.).
Un cas typique de ce qu'il ne faut pas faire en programmation ! -
ooouuuahhh ca fait peur vos truc!!!!
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cos0+sin10=sin0+cos0
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tro bo le graphique
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Bravo pour le graphique
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Bonjour,
à ma grande honte je n'ai lu le fil qu'en diagonale, et donc peut-être je ne dirai rien de nouveau...
Une analogie entre trigo circulaire et hyperbolique est donnée par l'interprétation du paramètre t pour les points M(cost,sint) ou (cht,sht). Dans les deux cas t mesure l'aire du domaine limité par la courbe (cercle ou hyperbole), le segment OM et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses. -
Démonstration sans problème.
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Mon analogie ne leur a pas plu, n'en parlons plus.
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Mais si, parlons-en !
C'est une propriété tout à fait fondamentale.
La façon dont j'avais répondu à la question initiale passait à coté de cela et c'est vraiment très bien d'avoir comblé ce manque. -
ah yeah .. that's right
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comment faire pour démontrer les formules de trigonométrie (addition) des fonctions sinus et cosinus hyperboliques? merci d'avance...
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Bonjour à toi aussi...
tu devrais trouver ton bonheure ici :
<http://www.sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrietrigonometrie01.php>
toutes les relations trigonométriques remarquables y sont démontrées.
Cordialement -
MERCI beaucoup...
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En faisant des recherches autour de la constante de Catalan, j'ai trouvé des relations amusantes entre intégrales hyperboliques et trigonométriques. Si on note par exemple :
$W(n)=\int_{0}^{\pi/2} \cos(t)^ndt$ (intégrales de Wallis)
$J(n)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{t}{\sin(t)}\cos(t)^ndt$
$K(n)=\int_{0}^{\infty}\frac{t}{\cosh(t)^n}dt$
alors pour $n$ entier positif on a :
$\frac{J(n-1)}{W(n)}=nK(n)$ -
Cher Monsieur/Madame
Je sais que cette lettre de proposition pourrait vous parvenir comme une surprise considerant le fait que nous n'avons eu aucune relation amicale auparavant. Mais de toute facon je voudrais pour l'amour de DIEU que vous ayiez une attention immediate en vue du fait
que la securité de nos vies et biens sont a ce prix. Je suis M KOFFI ATTAH agé de 24 ans d'origine SIERRA LEONAIS,je reside présentement a ABIDJAN ,en COTE d'ivoire avec ma petite soeur du nom D'JANET agée de 18 ans. Mon pére M RICHARD ATTAH qui, avant son assasinat
par les rebelles occupait le poste du directeur de la societé de diamant de la SIERRA LEONE(SLDC), a été abattu a notre residence gouvernmentale avec deux de mes freres deux servantes de maison et un attaché de la securité du gouvernment. Heuresement pour moi,ma soeur cadette et ma mére ,nous etions partis pour un weekend de visite au village. Dès que nous avions appris la nouvelle tragique,nous nous sommes debrouillé pour sortir et trouver refuge dans le pays voisin de la Cote D'ivoire. Mais malhereusement le destin le voulant ainsi,nous avions perdu notre bien aimée mère (que son ame repose en paix) des suites d'un arret cardiaque selon l'examen medical. Pendant que nous rentrions dans ce pays,en Cote D'ivoire,nous avions des documents d'un depot une valeur de 11.000.000.00 us dollars Americains.Consigné par mon defunt père dans une compagnie de sécurité,selon mon père ,il prevoyait utiliser ces fonds pour ses transactions
d'affaires,internationales après sa retraite. Nous avons placé ceux fonds en sécurité avec le
concours d'un procureur. Apres les expériences vecues dans mon pays,précisement dans la region diamantiféréou les tensions se poursuivent et ajouté a cela les hostiltés politiques en Cote D'ivoire ,nous desirions serieusement quitter ce pays et passer le reste de notre vie dans un pays paisible et stable,comme la votre d'ou ma proposition et ma sollicitation. Nous souhaitons que vous nous aidiez dans ces domaines suivants.
1)Pourvoir un bon compte banquaire pour le transfert de ce fond.
2)Aider a pouvoir investir dans une affaire lucrative
3)Assister ma soeur JANET, pour son admission dans une grande ecole pour parachever ses etudes. J e sais que cette lettre pourrait paraitre etrange et douteuse a vos yeux,mais les radio CNN et BBC dans leurs bulletins d'informations ont largement fait echo
Alors pour l'amour de DIEU et pour l'humanisme preter,je vous prie de m'ecrire a l'addresse
electronique. J'accepte a volontiers vous accorder un pourcentage raisonnable sur l'argent que vous proposeriez comme compensation de votre assistance par rapport a ce qui a été dit ci -dessus.
En raison de notre statut de refugié,nous sommes toujours conscients des ennemis de notre père .
Je vous prie de garder cette affaire hautement confidentielle. Veuillez,agréer M ou Mlle mes sentiments les plus considérables.
KOFFI ET JANET
Modéré par Bruno qui a déjà reçu plusieurs messages de ce type en particulier de Koffi et Janet. -
bonjour
pour compléter la figure déjà chargée de JJ on pourrait tracer la lemniscate de Bernoulli qui n'est autre que l'inverse géométrique de l'hyperbole, pôle d'inversion situé en l'origine;
la lemniscate admet deux foyers F et F' situés sue l'axe des abscisses, symétriques par rapport à O et à distance égale à 1/rac(2) de O, ses sommets coïncident avec ceux de l'hyperbole équilatère
l'équation polaire à un signe près de l'hyperbole tracée par JJ est
r'=1/rac(cos2t)
l'équation polaire à un signe près de la lemniscate correspondante est puisque rr'=1:
r=rac[cos(2t)]
la lemniscate de Bernoulli est elle-même à la base d'une trigonométrie: la trigonométrie lemniscatique qui concerne (mais cela reste à prouver) les valeurs entières et impaires de la fonction Zéta
(alors que la trigonométrie circulaire et hyperbolique concerne elle les valeurs entières et paires de la fonction Zéta)
cordialement -
"la lemniscate de Bernoulli est elle-même à la base d'une trigonométrie: la trigonométrie lemniscatique qui concerne (mais cela reste à prouver) les valeurs entières et impaires de la fonction Zéta
(alors que la trigonométrie circulaire et hyperbolique concerne elle les valeurs entières et paires de la fonction Zéta)"
Tu pourrais développer ? Ou proposer une référence ? -
bonjour Benoît
je me pose des questions sur tes notations de fonctions à intégrer
tu parles d'intégrales de Wallis donc W(n) dans ce cas est:
intégrale de 0 à pi/2 de (cost)^n.dt
quant à K(n) elle est : intégrale sur R+ de dt/(cht)^n
en utilisant les applications intégrales de la fonction Gamma on trouve:
n.W(n).K(n) = pi/2
mais J(n-1) n'est pas égal à ce résultat puisque J(n-1) en fait diverge à cause de la borne inférieure d'intégration
la relation que tu donnes entre W(n), K(n) et J(n-1) est donc surprenante
cordialement -
bonjour Le Furet
Le mathématicien Legendre et Euler lui-même ont cherché à expliciter Zéta pour toutes les valeurs entières et impaires de la variable
sur le modèle des valeurs entières et paires de la variable qui donnent toutes avec Zéta des puissances de pi affectées d'un coefficient rationnel
ils ont échoué et à ma connaissance personne n'a trouvé
ces images par Zéta des entiers impairs dépendent sans doute de deux constantes: pi et oméga et peut-être d'une troisième qui est la constante d'Euler,
c'est une conjecture que l'on peut faire en établissant les développements polynomiaux de Gamma(1/2 + x/2) et de Gamma(1/4 + x/4)
Gamma(1/4) et Gamma(3/4) dépendent de pi et oméga
oméga (appelée aussi constante de la lemniscate) est liée à la lemniscate de Bernoulli dont la périmètre est justement égal à 4 fois oméga
la constante oméga est définie par l'intégrale de 0 à 1 de dt/rac(1-t^4)
alors que pi/2 est justement égale à l'intégrale de 0 à 1 de dt/rac(1-t²)
la trigonométrie lemniscatique est lourde et peu exploitable
le sinus lemniscatique est la fonction réciproque de
l'intégrale de 0 à x de dt/rac(1-t^4) exactement comme
sinus est fonction réciproque de l'intégrale de 0 à x de dt/rac(1-t²)
le lien évoqué entre trigonométrie lemniscatique et les images de Zéta pour les valeurs entières impaires de la variable, ce lien est probable mais il n'est pas certain
et il existe d'autres pistes de recherche qui passent pour la plupart par la fonction Gamma dont on sait qu'elle est intimement liée à Zéta
cordialement -
Je connaissais le sinus "lemniscatique" (j'avais lu un article sur le sujet dans un bulletin de l'APMEP) mais pas son lien avec zeta. Je cherche à creuser mais ne trouve pas de références sur Google. Je tiendrai au courant si je trouve quelque chose.
-
Bonjour,
pour jean,
La relation que tu cites entre Wn et ce que tu appelles Kn est évidente par changement de variable en posant exp(-t)=tg(u/2) qui mene directement à K(n+1)=W(n) et on sait que nW(n)W(n+1)=Pi/2..
( inutile d'aller chercher la fonction gamma!)
D'autre part les integrales citées par benoit font intervenir t au numérateur et donc pas de pb de convergence pour J(n)
Sa formule est donc plausible et je lui fais confiance ( comme je ne la connaissais pas je vais la verifier:au premier abord on doit pouvoir integrer
J(n) par parties puis changer de variable ..)
Oump.
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