Applications de S+F=A+2

Je n'ai rien de précis en tête, mais :

1) Ca permet peut-être de montrer que certains graphes ne sont pas planaires (wikipedia a l'air de donner un exemple).

2) Ca permet peut-être de montrer que le nombre moyen d'arête des faces est 6 (en comptant la face extérieur)

et ça permet sans doute un tas d'autre trucs plus profond que j'ignore complètement.

oui, tu peux prouver le théorème des 5 couleurs en peu d'étapes avec ça.

Dans un graphe planaire, il y a au moins un sommet qui n'a pas plus de 5 voisins grace à cette formule (exercice). Soit $G$ un graphe planaire de cardinal minimum possible à ne pas être coloriable avec 5 couleurs. Tu prends un sommet qui a au plus 5 voisins. Tu colories le reste avec 5 couleurs. Après quoi un argument "à la Kempe" (je crois) que tu peux deviner seul te permet de recolorier tranquillement le voisinage du sommet de manière à libérer une couleur, contradiction.

Remarque: ça donne aussi que tout graphe planaire est coloriable avec 6 couleurs (là c'est trivial, pas besoin de recolorier le voisinage)

Y a des dessins sur le net, ce serait assez lourd que je décrive lakempastuce.

Au lieu de "Kemper", ce que tu peux faire aussi, tu considères ton sommet et 2 de ses voisins "presque diamétralement opposés", comme un seul sommet. Ca te donne un graphe 5 coloriable. Les 3 sommets soudés ont disons tous été coloriés avec la couleur 1. Or il y a seulement 3 autres voisins, forcément coloriés avec 2;3;4, disons (au pire). Tu mets la couleur 5 au sommet du milieu.

bonjour

précisons que cette relation concernant les polyèdres de l'espace R^3
était connue de Descartes même s'il a fallu attendre Euler pour en avoir une démonstration

dans l'espace R^4 il existe une relation eulérienne analogue concernant les 6 polytopes réguliers
entre S le nombre des sommets, A le nombre d'arêtes, F le nombre de faces et C le nombre de cellules

S + F = A + C

cette relation associée à 2F/C = nombre de faces par cellule
et à la propriété "1 face est commune à 2 cellules"
nous permet de préciser la nature des cellules externes

pour l'hypertétraèdre il existe 5 cellules externes (tétraèdres)
pour l'hypercube, 8 cellules externes (cubes)
pour l'hyperoctaèdre, 16 cellules externes (tétraèdres)
pour l'hypergranatoèdre, 24 cellules externes (octaèdres)
pour l'hyperdodécaèdre, 120 cellules externes (dodécaèdres)
pour l'hyperisocaèdre, 600 cellules externes (tétraèdres)


cordialement

Bonjour,

La relation d'Euler a été utilisée, sur ce forum ("Triangles imbriqués", il y a 11 mois), pour résoudre un problème de géométrie issue des olympiades iraniennes de 2008.

Il s'agit de montrer que six points de R3 (dont 4 ne sont pas coplanaires) peuvent être répartis en deux triplets formant chacun les sommets de deux triangles imbriqués.

La relation d'Euler permet de classer les enveloppes convexes des six points en deux familles (selon qu'il existe ou non un sommet de l'enveloppe convexe dont ne partent que trois arêtes). On traite ensuite explicitement le problème dans chaque famille.

Bonjour,

Les triangles imbriqués, c'était ici.

Amicalement.