Les démonstrations les plus élégantes
Pouvez-vous nous dire quelle a été la démonstration la plus élégante que vous avez rencontrée durant vos études? Quelle ont été alors vos impressions ?
Pour moi qui suis en term, j'ai souvent été impressioné par les démos en arithmétique, c'est simple et puissant...
Je suis sur que je ne vais pas comprendre la moitié du quart de ce que vous allez raconter, mais , c'est pas grave, d'ici qq années, je reviendrai dessus
Pour moi qui suis en term, j'ai souvent été impressioné par les démos en arithmétique, c'est simple et puissant...
Je suis sur que je ne vais pas comprendre la moitié du quart de ce que vous allez raconter, mais , c'est pas grave, d'ici qq années, je reviendrai dessus
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Réponses
somme des angles d'un triangle = 180 degrés. Le prof nous saoule avec une démo super compliquée.
Puis je découvre : du sommet A, on trace la parallèle à BC Les angles B et C se retrouvent autour de A et leur somme fait bien un angle plat. ça crève les yeux, c'est magique c'est beau !
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<BR>Je l'avais mise sur le forum à une époque :
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<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=17391&t=17376"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=17391&t=17376</a><BR>
En deux lignes on aboutit à l'expression de ce théorème, d'une manière bien plus rapide et claire que celle proposée originellement par Pythagore.
cf.
<;
Sinon, les démonstrations des formules de trigonométrie (sin(a+b) = ..., cos(a-b) = ..., etc ) qui utilisent la formule de Moivre (exp(i x) = sin(x) + i cos(x)) sont également particulièrement élégantes.
Guy
De plus, elle tient en deux lignes.
AB = AC + CB (en vecteurs, C étant l'angle droit)
$AB^2$ = $AC^2$ + $CB^2$ + 2.AC.CB (AC.CB = 0 car perpendiculaires)
Voilà.
Si AB est un vecteur, de norme ||AB||, on a bien :
AB^2 = ||AB||^2 , cad à l'aire d'un carré dont le segment AB est l'un des cotés.
On a bien un lien entre cette utilisation des vecteurs et des calculs de géométrie, non ?
Personnellement, je connaissais également cette démonstration et elle ne m'a jamais paru fausse.
Celle donnee par le president americain Garfield est pas mal non plus.
personnellt,je prefere la demo d euclide concernant le th de thales.
Sinon,bcp de demos st belles.Demo de"un endo est trigonalisable ssi son poly caracteristique est scinde" utilisant la dualite par ex,...
une qui ma surpris c celle de Taylor par la dualité, la démonstration est tellement courte
alors que la démonstration classique par l'analyse est plus longue et demande un prérequis de toute une année d'analyse
par la dualitée quelques connaissances d'algèbre suffisent pour demontré taylor.
Moi, je connaissais en multipliant par 10, en faisant des soustractions, etc...
Le copain en question me dit:"Essaie de mettre un nombre entre les deux."
Toc, terminé.
C'est vraiment l'un des résultats les plus troublant qu'il m'ait été donné de voir: comment on relie les nombres premiers à l'analyse...
J'espere que dans quelques années je pourrai revenir pour poster que la plus belle démo est celle qui montre que cette série équivaut à $\ln$ $\(ln$ $n)$, car je ne suis qu'en spé.
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<BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="256" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/11/82307/cv/img1.png" ALT="$ ln(ln(n))<\sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i}<ln(ln(n))+1$"></SPAN>.<BR><BR><BR>
(par récent j'entends 20ème siècle...)
Hugo_ : j'ai montré ici, à maintes reprises, comment obtenir de façon assez simple (niveau sup / spé) la minoration $$\sum_{p \leqslant x}\frac {1}{p} \geqslant \ln \ln x - 1.$$ Si ça t'intéresse, tu peux faire une recherche.
Enfin, maintenant que ce livre va sortir, je ne peux faire autrement que d'inviter toux ceux intéressés par ce sujet à le consulter. On pourra y trouver, entre autres, une preuve de l'estimation : $$\sum_{p \leqslant x} \frac {1}{p} = \ln \ln x + c + O \left ( \frac {1}{\ln x} \right ).$$ A noter l'excellent encadrement de Rosser et Schoenfeld...
Borde.
Je pense à une demo particulierement simple et qui amene un resultat etonnant pour non-initie. C'est la demo qui montre que N et Z on meme cardinal, il suffit d'etablir une bijection pour montrer l'equipotence. Termine.
Ca m'avait particulierement etonne quand j'ai commence la theorie des ensembles...
amicalement
"il suffit d'etablir une bijection pour montrer l'equipotence"
J'ajouterais, il faut et il suffit.
Je m'attendais à voir apparaitre une astuce extraordinaire, une explication profonde, au lieu de ça "soit trucmuche une forme différentielle horrible, vérifions qu'elle convient". Bof bof...
soit trucmuche une forme différentielle horrible
>>
Heu, elle est pas horrible du tout, elle est super naturelle ! T'intègres selon un chemin... ou alors c'est que je confond avec une autre lemme ou que je n'ai jamais regardé les détails dans le cas général...
Je suis en train de me coltiner des critères de sélection de solutions naturelles pour les edp, ben franchement, il vaut mieux ne pas avoir les yeux sensibles.
Pour revenir dans le sujet, une démo que j'aime bien, c'est une démonstration du postulat de Bertrand qui est une démo par l'absurde en utilisant une inégalité sur les coéfficients binômiaux, ce qui m'a assez supris!
Borde.
Je vais me relire ça pour le plaisir.
(Je taquine, je taquine...)
en fait, çà consiste à montrer que le rapport entre le coté et la diagonale d'un pentagone regulier et irrationnel par l'absurde.
si ce rapport est rationel, on peut construire un pentagone dont le coté et la diagonale sont entier
la contradiction vient du fait que les diagonales forment un pentagrame et donc un 2iem pentagone et ansi de suit, de plus le coté du 2iem pentagone est au moins 2 fois plus petit
on peut alors trouvé un nieme pentagone dont le coté et <1 donc pas entier
gothh le goth
Borde.
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<BR>Ceci a vraiment une importance <I>capitale</I> et je doute que les mathématiques puissent bien se porter tant que de telles choses subsistes... !
<BR>
<BR>Bouh !<BR>
Enfin un résultat qui m'a marqué mais je ne m'en souviens plus c'est une probabilité moyenne d'avoir deux nombres prit au hasard qui sont premiers entre eux et le résultat vaut : 6/pi/pi. Je crois que c'est ca :
soit a et b deux nombres appartenant a R+ : P(pgcd(a,b)=1)=6/(pi^2).
Si ca c'est pas formidable !
Allez je retourne bosser !
Charlie : c'est encore mieux lorsque l'on se souvient des formules en entier. Ainsi, Stirling assure que $n! = (n/e)^n \sqrt {2 \pi n} \left ( 1 + o(1) \right )$ lorsque $n \rightarrow \infty$, et, pour la seconde de tes formules, espérons que $a$ et $b$ soient plutôt des entiers (positifs ou négatifs, du reste) que des réels $\geqslant 0$, non ?
Borde.
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<BR>Je pense que ça sera difficile étant donné que cette méthode est vraiment naturelle mais on ne sait jamais.<BR>
la liste des triangles de pythagores en prenant la famille des droites rationnelles passant par un point rationnel (0,1 par exemple) du cercle
sinon ya la somme des 1/p diverge en la transformant en somme de 1/n