Vous faites de la géométrie affine finie ? la réponse 20 est-elle correcte ?
La question n'est pas très claire, il y a plusieurs famille de paquets de quatre boules telle que deux boules ne se rencontrent au plus qu'une fois.
En fait a priori il y a même plusieurs famille maximal de paquets de quatre boules vérifiant votre condition. Par maximal j'entend qu'on ne peut pas rajouter de nouveau paquet de 4 boules sans faire rencontrer deux couleurs. Doit-on montrer que n'importe quel deux famille maximal (pour l'inclusion) a le même nombre de paquet ? Ou voulez vous une famille maximal pour le cardinal ?
On vérifie facilement qu'il y a au plus 20 paquets dans une famille satisfaisant votre condition. Prenons en effet une telle famille. Chaque élément de la famille est défini par deux de ses boules, il y a 16*15 couple de boule. Mais dans ce cas on compte chaque paquet de quatre boules 4*3 fois. Il y a donc au plus 16*15/(4*3)=20.
Par ailleurs en considérant le plan affine sur le corps à 4 éléments, on remarque que l'ensemble des droites nous donne une solution à votre problème avec exactement 20 paquets.
Maintenant on pourrait prouver qu'une famille maximal (pour l'inclusion) nous donne un plan affine (et dans ce cas elle serait unique à permutation prêt des boules), mais je en suis même pas sûr que ce soit vraie.
