Pensez à lire la Charte avant de poster !
Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
1 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

déterminant

Envoyé par christophe chalons 
déterminant
il y a quatre années
Je propose que dans ce fil, on signale toutes les interventions du déterminant en maths. Ca me parait un outil encore mystérieux (pour moi) que certains maitrisent fort bien ici, donc possibilité de mutualisation.

Voilà en quoi il m'a interpellé récemment dans le forum:

1) il permet à peu de frais de montrer que sur un anneau quelconque (commutatif) $A$ et pour toute matrice carrée $M$, il existe un vecteur $v$ non nul tel que $Mv = (0,0,0,...r)$ où $r$ est soit $0$, soit un élément régulier de $A$. Je n'ai toujours pas trouvé de preuve "logique" de ce phénomène.

2) il intervient dans la théorie des formes différentielles qui trouvent ses heures de gloire dans une application spectaculaire qui consiste à prouver en 3 lignes le théorème de Brouwer à coup de formule de Stokes

3) Il permet d'inverser uniformément les matrices à coup de "transposée de la comatrice"

4) Il permet de prouver et trouver que l'ensemble des $f(v_1,...,v_n)$ où $f$ parcourt l'ensemble des formes alternées adéquates, est un idéal principal dans "les bons" cas.

Je crois qu'il intervient aussi dans pas mal de questions sur le dérivées (Wronskien, etc) auquel je ne connais rien

5) Il me semble qu'il permet de prouver en quelques lignes que si un module est de type fini (anneau commutatif QUELCONQUE), alors toute surjection linéaire est injective.

6) Il offre un accès uniforme via le théorème de Cayley Hamilton au fait que la famille des $M^n$ est liée (module libre de type fini sur anneau quelconque)

Ca fait pas mal de choses pour un outil calculatoire...

Une liste me paraitrait intéressante.
Re: déterminant
il y a quatre années
Dans $\mathbb R ^n$ on prend des vecteurs $x_1,\ldots,x_n$ et soit $K=\{t_1x_1+\ldots+t_nx_n\mid 0\leq t_1,\ldots,t_n\leq 1\}$ le parallélépipède défini par ces vecteurs. Quel est le volume (i.e la mesure de Lebesgue) de $K$ ?

[Et pourquoi Henri Lebesgue (1875-1941) n'aurait pas droit à sa majuscule ? AD]
Re: déterminant
il y a quatre années
ah merci foys de faire remonter, je viens de lire un truc pendant ma laverie qui m'a marqué: en fait les (1) ; (2) et (4) sont très liés entre eux sous forme de ce qu'on appelle le produit extérieur.

Ca devient encore plus intéressant.

En fait la preuve classique de (1) fait intervenir un produit extérieur entre une forme n alternée et une forme linéaire. Dans un autre fil, j'attends toujours une prevue sans calcul de (1), mais je sens que ça va finir par venir smoking smiley

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi
Re: déterminant
il y a quatre années
avatar
Bonne nuit à tous,

Cher c. c.,
Tu as oublié les déterminants non commutatifs. J. Dieudonné va pas être content ... spinning smiley sticking its tongue out
Citation: "2) il intervient dans la théorie des formes différentielles qui trouvent ses heures de gloire dans une application spectaculaire qui consiste à prouver en 3 lignes le théorème de Brouwer à coup de formule de Stokes".
En 1 ligne, même, mais tu oublies de dire que c'est à la suite d'un certain nombre de lemmes (peu difficiles, certes): voir Mme J. Lelong-Ferrand and C°, Exercices d'Analyse pour la Licence, Dunod éd.
Citation: "Ca fait pas mal de choses pour un outil calculatoire...". Une opinion à oublier devant un jury d'Agreg. à mon humble avis.
Bien cordialement. :)
Re: déterminant
il y a quatre années
Citation

Une opinion à oublier devant un jury d'Agreg. à mon humble avis

hot smiley si tu savais à quel point m'indiffèrent les opinions des gens réunis à plusieurs dans une pièce à l'occasion de tel ou tel protocole délibératoire... Je suis pour une dualité totale: ils font ce qu'ils veulent, je fais ce que je veux et jamais je ne songerai à "juger le thermomètre"

Par contre, il me semble vraiment intéressant (et j'aimerais bien approndir) de renforcer la compréhension du lien qu'il y a dans la trilogie "déterminants-dérivations-Brouwereries"

Mais un gros obstacle me semble-t-il est le fait de travailler avec des corps, même si l'impulsion historique y a conduit et même si pour dériver, généralement non seulement on a un corps en arrière-plan, mais en plus de ça, il est topologique.

Je suis persuadé qu'au contraire, il y a un truc à creuser en des termes logiques qui font voir comme un même phénomène la puissance du déterminant pour prouver des trucs sur des anneaux quelconques (voir mon fil <a href="une jolie égalité">[www.les-mathematiques.net]; ), les formes alternées, le théorème de Stokes donc le théorème de Brouwer et donc le théorème dont j'ai signalé quelques cas particuliers dans le fil

[www.les-mathematiques.net]


Je n'en suis pas sûr à 100 pourcent, mais je parierais gros qu'il existe un théorème à trouver qui unifie tout ça d'un seul coup et ferait rentrer en plus de ça les 2 seules théories qui échappent encore à "l'approche logique" (je ne parle pas formellement, mais au niveau des inspirations**): les Brouwereries et l'algèbre linéaire.

** au sens formel et par définition toutes les mathématiques sont de la logique appliquées, mais là je parle sur le plan "compréhension et inspiration humaines"

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe chalons.
Re: déterminant
il y a quatre années
avatar
Bonne nuit à tous,

Cher c. c.,
Citation: "hot smiley si tu savais à quel point m'indiffèrent les opinions des gens réunis à plusieurs dans une pièce à l'occasion de tel ou tel protocole délibératoire... Je suis pour une dualité totale: ils font ce qu'ils veulent, je fais ce que je veux et jamais je ne songerai à "juger le thermomètre" ".
Je suis tout à fait d'accord avec toi, mais lorsque je m'aventure à donner un conseil aux gens qui passent des concours -ce que je n'ai jamais fait- c'est un conseil de prudence !
Bien cordialement. :)
Re: déterminant
il y a quatre années
;) ah et bien merci pour ces conseils de prudence. Bon d'un autre côté dire que le déterminant est puissant pour un outil calculatoire ne me parait pas être une scandaleur subversion.

Je resignale l'étrange preuve que si une matrice carrée sur un anneau commutatif quelconque a un déterminant singulier alors elle n'est pas injective (enfin je résume).

On passe par le lemme suivant:

Soit $v$ un uplet de vecteurs de $A^k$. $v$ est liée ssi il existe $a\in A$ non nul tel que pour toute forme alternée $f$; $af(v)=0$ (1)

Dans le cas particulier des colonnes d'une matrice carrée, $v$ étant le uplet de ses colonnes. Soit $d$ son déterminant et $a\neq 0$ tel que $ad=0$

si la matrice est injective, il existe une forme alternée $f$ telle que $af(v)\neq 0$. Or il existe $m\in A$ tel que $f(v)=md$ (2) et donc $amd\neq 0$

Pour l'instant, en apparence, il n'y a aucun calcul. En réalité, (2) est extrêmement calculatoire. Par ailleurs la preuve connue de (1), légèrement calculatoire est aussi légèrement saugrenue. Je réécris l'épape principale:

Si $v_1;...;v_9$ n'est pas liée, alors $v_1;...;v_8$ non plus. Soit $a$ tel que pour toute forme alternée $f$; $af(v_1...v_9)=0$.

Il existe une forme 8 alternée $g$ telle que $ag(v_1;...;v_8)\neq 0$.
(En fait ce qui est marrant c'est qu'on ne se sert que de ça, c'est bizarroide...)

Dans la suite on "pose" un calcul complètement immobile:

Soit $t$ une forme linéaire.

Soit $f_t$ l'application $(v_1;...;v_9)\mapsto t [g(v_2;...;v_9).v_1- g(v_1;v_3;...;v_9).v_2 + ... - ... + ... g(v_1;...;v_8) . v_9 ]$

Il se trouve que $f_t$ est toujours une forme 9 alternée (3) et donc que $a.f_t(v_1;...;v_9)$ est toujours nul, ceci étant valable en particulier pour toute forme coordonnée $t$.

Il s'ensuit que $a [g(v_2;...;v_9).v_1- g(v_1;v_3;...;v_9).v_2 + ... - ... + ... g(v_1;...;v_8) . v_9 ] $ est le vecteur nul. Et donc que $ag(v_1;...;v_8)=0$ car $(v_1;...;v_9)$ est supposée libre, ce qui est une contradiction.


En dehors de la quantification sur les formes coordonnées, l'argument précédent est vraiment (bien que valable) très mystérieux, car on n'utilise qu'une seule fois un truc de la forme f(x), mais on semble avoir eu besoin de f tout entier avant. Il n'y a pas bcp de domaines ou de telles démonstrations ont ce profil


L'un des corollaires c'est que pour un anneau quelconque $A$ et une matrice carrée injective quelconque $M$, il existe un élément de la forme $(0,...,r)$ avec $r$ régulier dans l'image de $M$. Dans le fil "une jolie égalité" je suis en attente (désespérée :D ) d'une preuve moins "mystérieuse" de ça (par exemple, en raisonnant proprement sur des anneaux).

Il faut aussi noter que dans la preuve ci-dessus, ce n'est pas un "ou", c'est un "et": on utilise le déterminant ET les formes alternées. Par ailleurs pour prouver (3), il ne semble guère vraiment possible de faire mieux que d'utiliser la théorie des groupes symétriques (la signature), or, comme il a été vu dans le forum (je ne sais plus quand, lors d'une discussion avec gb, j'essairai de retruver le lien) les "bonnes" preuves de l'existence de la signature (ie de l'impossibilité qu'un nombre impair de transpositions donne l'identité) sont toutes subtiles).

On ne peut donc pas dire à lui seul que le déterminant est puissant ici, mais il fait quand-même une grosse partie du travail, allié certes avec les notions de formes alternées et de signature.
Re: déterminant
il y a quatre années
Ah, au fait, et puis c'est loin d'être fini, pour le résultat du fil "une jolie égalité", y a encore un truc qui est appris par coeur par tout le monde mais qui est supercalculatoire: c'est que pour tout anneau et toute matrice carrée, (0,0,...,0,d) est dans son image (quand d est son déterminant)

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi
Re: déterminant
il y a quatre années
Citation
CC
un truc qui est appris par coeur par tout le monde mais qui est supercalculatoire: c'est que pour tout anneau et toute matrice carrée, (0,0,...,0,d) est dans son image (quand d est son déterminant)
Mais non c'est juste la formule de Cramer (une simple affaire d'indices!)...
Re: déterminant
il y a quatre années
Sinon pour sortir des sentiers battus, sur un corps local (me semble t'il)
le determinant de f dans G = GL(V) peut etre vu comme
la classe de f dans G/DG ou DG est le groupe dérivé de G (c-a-d engendré par les commutateurs).

Eric
ps: une petite remarque sur l'exemple de Foys d'il y a quelques jours, c'est la valeur
absolue du determinant qui intervient dans ce cas, et du coup on perd
une partie de l'information contenue dans le determinant, a savoir la notion
d'orientation.
Re: déterminant
il y a quatre années
Merci à vous 2.

à foys, tu veux parler du développement suivant, par exemple une ligne et du fait que le déterminant d'une matrice ayant 2 lignes ou 2 colonnes semblables a un déterminant nul j'imagine? En admettant ces 2 choses effectivement, il est "honnête" de dire que c'est facile en supposant que pour chaque sous-matrice carrée concernée dans le dvt de la dernière ligne, si on suppose que son déterminant est d_i, et que les coefs de la dernière ligne sont x_i, alors (à + ou -1 fois près) d_1x_1-d_2x_2+d_3x_3 ... = d et si on met une autre ligne à la place de la dernière, on obtient d_1y_1-d_2y_2+d_3y_3-...=0 et finalement, (0,0,...,d) est dans l'image de la matrice. Ok, ça je reconnais que ce n'est pas trop indigeste à comprendre, même pour moi :D. Il faurdrait que je vérifie si les 2 choses admises sont pas trop lourdes calculatoirement (mais il ya cette affaire de signature...)

à Eric: ça a l'air alléchant cette signification du déterminant. Tu veux dire que f-g est dans DG ssi det(f)=det(g)? Et qu'est-ce que c'est un "corps local"?

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi
Re: déterminant
il y a quatre années
Digression: je viens d'entendre parler de "permanent" d'une matrice (c'est la même formule que le déterminant, en enlevant les "fois signature" dans la somme. Joue-t-il un rôle crucial dans certaines preuves de maths?

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi
Re: déterminant
il y a quatre années
Pas tout a fait, la loi est multiplicative...
et il est trivial que les elements de DG sont de determinant 1,
le reciproque etant moins evidente (sinon corps local = extension de R ou $Q_p$
ou corps de fractions rationnelles a coef dans corps finis en gros mais je ne sais pas
si la propriété énoncée est vraie dans ce dernier cas).

A+

eric
Re: déterminant
il y a quatre années
Merci.

je pense que je comprends tes précisions.

Sinon, une question dont sans reflechir, je croyais connaitre la réponse et en fait non. Dans un corps, il existe un algorithme polynomial (et même rapide) qui calcule le déterminant.

Mais qu'en est-il dans un anneau quelconque, étant entendu qu'on accède à l'anneau comme à une boite noire, ie, on a une fonction "inconnue" qui renvoie (ab, a+b) quand on lui rentre (a,b)?

Sinon, si quelqu'un connaitre le meilleur livre du monde ou les meilleurs pdf du monde (non calculatoires) sur "tout ce que vous avez voulu savoir sur le déterminant sans jamais oser le demander", je suis preneur

En effet, je suis persuadé que dès que le déterminant sera tombé dans la compréhension logique (ie par les logiciens pros) alors de nombreux problèmes ouverts tomberont aussitôt, par exemple la conjecture de Hadwiger (qui est une généralisation de Brouwer, mais s'énonce en termes de graphes, etc)

Précision: ce que j'appelle "tomber dans la compréhension logique" est l'idée (vague suivante).

Les maths sont pas mal nourries par la physique, mais tous les théorèmes de maths sont des théorèmes, ie des tautologies. Cependant on peut classer plus ou moins les démonstrations de ces théorèmes en plusieurs catégories: la forme achevée est quand un théorème est compris (ses démonstrations principales) par la logique.

Une grosse partie des spécialités n'est pas encore arrivée à cette achèvement, ie même si démontrés les théorèmes apparaissent de loin comme des "découvertes de physique" ie comme des conquètes par le "physiciens du monde platonicien" que sont les matheux (en général non logicien quand il s'agit de géométrie et de choses inspirées de la physique)

Pour comprendre l'inconvénient de cet inachèvement de la compréhenion de certaines démonstrations, il faut se rappeler le th d'élimination des coupures: tout théorème peut se prouver sans "coupures", ie peut se prouver simplement en exhibant que sa conclusion est un cas particulier de ses hypothèses (une suite d'enchainements "(A et B) donc B" ou "(pour tout x R(x)) donc R(a)".

Alors bien évidemment, les coupures sont utiles et même génératrices de créativité, puisque de concepts synthétiques, mais ce n'est pas une guerre contre les coupures que je mène ici en parlant d'inachèvement, mais simplement, le fait que pour la plupart des démonstrations bien comprises et "achevées", même si on ne perd pas de temps à écrire une preuve de 1 000 000 000 de lignes, on la "devine" aisément (c'est en ce sens que je parle d'achèvement). Par contre il y a une forme de résistance de certaines démonstrations(celles que j'appelle " non comprises par les logiciens") qui sont celles où on n'imagine même pas la tête que peut avoir la preuve obtenue en éliminant les coupures.

Il en va typiquement ainsi de preuves "délocalisées": par exemple, celles des théorèmes de Brouwer, ou celle que toute fonction hololomorphe est dérivable 2 fois. De même de la formule de Stokes, etc. En fait (par exemple pour les fonctions holomorphes), on passe par des lacets qui vont loin de "z" pour montrer que f' est dérivable en z et de manière générale, la topologie algébrique et l'algèbre linéaire fournissent des découvertes "inachevées" dans le sens précédent et qui représentent un défi.



aide les autres comme toi-même car ils SONT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe chalons.
Re: déterminant
il y a quatre années
Personne n'aurait un lien vers LE PDF qui déchire sur les déterminants????

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi
Re: déterminant
il y a quatre années
Dans le fil "une jolie égalité" j'en suis arrivé au stade suivant: si on "invente" le déterminant pour les corps, alors on l'a pour tous les anneaux correctement.

Reste à essayer de se mettre à la place d'une civilisation extra-terrestre qui ne le connait pas. Ca m'étonnerait qu'il y ait beaucoup de monde qui irait se prendre le chou (je veux dire parmi les E.T.) avec des histoires de signatures et de formes alternées à froid.

Bon, alors comment le retrouver.

Dans $F_2$, le déterminant d'une matrice inversible est toujours 1, donc c'est un peu mangeur d'information.

Par contre, je crois bien que dans $F_3 := \{-1;0;1\}$, on a déjà une notion intéressante qui se dégage. Peut-être bien une notion d'orientation
Re: déterminant
il y a quatre années
Petite question qui me vient (qui est peut-être celle à laquelle Eric a déjà répondu (en fait non, c'était multiplicatif)

Soit A un anneau et $T:=M_n(A)$

C'est un anneau. On le quotiente par l'idéal bilatère engenré par tous les M.N -N.M où M,N parcourt T.

J'ai l'impression qu'il doit être connu que Q (le quotient) est isomorphe à A et que peut-être det représente bien ça, non?

Peut-être y a-t-il un moyen abstrait de voir alors que (0,0,...,det(M)) est dans l'image de M par exemple?

Je dis peut-être bien n'importe quoi... :D
Re: déterminant
il y a quatre années
Puisque c'est un fil "catalogue", je recopie une preuve de DSP: [www.les-mathematiques.net]

pour illustrer une autre instance de la puissance du déterminant. Il s'agit d'un énoncé qui ne parle pas du tout de déterminant mais qui semble se prouver avec la notion de déterminant d'une manière simple.

Soit $K$ un corps infini.
Soit $E$ un espace vectoriel de matrices carrées n×n à coefficients dans $K$
On suppose que $E$ contient une matrice inversible.
Alors il y a une base de $E$ composée de matrices inversibles.


(on remarque que l'énoncé n'évoque que les notions d'ev et de matrices)

preuve: on construit une suite finie maximale $u_1,...,u_k$ d'éléments inversbles de $E$. Autrement dit, $u_i$ n'est pas dans l'ev engendré par $u_1,..,u_{i-1}$ et tout élément de $E$, inversible est dans l'ev F engendré par $u_1,...,u_k$.

Supposons que $F\neq E$. Soit $v\in E\setminus F$

Soit P le polynôme $t\mapsto det(u_1+tv)$. Alors $P(0)\neq 0$ et pour tout $t\neq 0: P(t)=0$. En effet, sinon la matrice $u_1+tv$ serait inversible et serait donc dans $F$ mais alors $tv=(u_1+tv)-u_1$ serait dans $F$ et donc $v$ y serait aussi.

Comme le corps $K$ est infini, ce n'est pas possible.

La famille des $u_i$ est libre et donc, comme finalement $F=E$, c'est une base de $E$


(Cela montre d'ailleurs que toute famille libre et maximale parmi les familles de matrices inversibles est une base de $E$ )
Re: déterminant
il y a quatre années
Finalement le résultat ci-dessus se démontre assez rapidement SANS déterminant: [www.les-mathematiques.net]

aide les autres comme toi-même car ils SONT toi
Meu
Re: déterminant
il y a quatre années
A propos de la question 3 messages au-dessus. L'anneau $M_n(A)$, pour $n>1$, est viscéralement non commutatif. Si on le force à devenir commutatif, il devient nul.
On le voit facilement en se souvenant que $M_n(A)$ est la $A$-algèbre engendrée par les matrices élémentaires $e_{i,j}$ avec la table de multiplication $e_{i,j} e_{k,\ell} = \delta_{j,k} e_{i,\ell}$.
Montrer que si $f$ est un morphisme de $M_n(A)$ dans un anneau commutatif, alors :
1°) si $i\neq j$, alors $f(e_{i,j})=0$;
2°) $f(e_{i,i})=0$.
Désolé, vous n'avez pas la permission d'envoyer ou de répondre dans ce forum.
Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 97 534, Messages: 893 769, Utilisateurs: 9 673.
Notre dernier utilisateur inscrit yugoth.


Ce forum
Discussions: 37 187, Messages: 278 059.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page
Autres...