déterminant

Ah, au fait, et puis c'est loin d'être fini, pour le résultat du fil "une jolie égalité", y a encore un truc qui est appris par coeur par tout le monde mais qui est supercalculatoire: c'est que pour tout anneau et toute matrice carrée, (0,0,...,0,d) est dans son image (quand d est son déterminant)

Digression: je viens d'entendre parler de "permanent" d'une matrice (c'est la même formule que le déterminant, en enlevant les "fois signature" dans la somme. Joue-t-il un rôle crucial dans certaines preuves de maths?

Merci.

je pense que je comprends tes précisions.

Sinon, une question dont sans reflechir, je croyais connaitre la réponse et en fait non. Dans un corps, il existe un algorithme polynomial (et même rapide) qui calcule le déterminant.

Mais qu'en est-il dans un anneau quelconque, étant entendu qu'on accède à l'anneau comme à une boite noire, ie, on a une fonction "inconnue" qui renvoie (ab, a+b) quand on lui rentre (a,b)?

Sinon, si quelqu'un connaitre le meilleur livre du monde ou les meilleurs pdf du monde (non calculatoires) sur "tout ce que vous avez voulu savoir sur le déterminant sans jamais oser le demander", je suis preneur

En effet, je suis persuadé que dès que le déterminant sera tombé dans la compréhension logique (ie par les logiciens pros) alors de nombreux problèmes ouverts tomberont aussitôt, par exemple la conjecture de Hadwiger (qui est une généralisation de Brouwer, mais s'énonce en termes de graphes, etc)

[size=x-small]Précision: ce que j'appelle "tomber dans la compréhension logique" est l'idée (vague suivante).

Les maths sont pas mal nourries par la physique, mais tous les théorèmes de maths sont des théorèmes, ie des tautologies. Cependant on peut classer plus ou moins les démonstrations de ces théorèmes en plusieurs catégories: la forme achevée est quand un théorème est compris (ses démonstrations principales) par la logique.

Une grosse partie des spécialités n'est pas encore arrivée à cette achèvement, ie même si démontrés les théorèmes apparaissent de loin comme des "découvertes de physique" ie comme des conquètes par le "physiciens du monde platonicien" que sont les matheux (en général non logicien quand il s'agit de géométrie et de choses inspirées de la physique)

Pour comprendre l'inconvénient de cet inachèvement de la compréhenion de certaines démonstrations, il faut se rappeler le th d'élimination des coupures: tout théorème peut se prouver sans "coupures", ie peut se prouver simplement en exhibant que sa conclusion est un cas particulier de ses hypothèses (une suite d'enchainements "(A et donc B" ou "(pour tout x R(x)) donc R(a)".

Alors bien évidemment, les coupures sont utiles et même génératrices de créativité, puisque de concepts synthétiques, mais ce n'est pas une guerre contre les coupures que je mène ici en parlant d'inachèvement, mais simplement, le fait que pour la plupart des démonstrations bien comprises et "achevées", même si on ne perd pas de temps à écrire une preuve de 1 000 000 000 de lignes, on la "devine" aisément (c'est en ce sens que je parle d'achèvement). Par contre il y a une forme de résistance de certaines démonstrations(celles que j'appelle " non comprises par les logiciens") qui sont celles où on n'imagine même pas la tête que peut avoir la preuve obtenue en éliminant les coupures.

Il en va typiquement ainsi de preuves "délocalisées": par exemple, celles des théorèmes de Brouwer, ou celle que toute fonction hololomorphe est dérivable 2 fois. De même de la formule de Stokes, etc. En fait (par exemple pour les fonctions holomorphes), on passe par des lacets qui vont loin de "z" pour montrer que f' est dérivable en z et de manière générale, la topologie algébrique et l'algèbre linéaire fournissent des découvertes "inachevées" dans le sens précédent et qui représentent un défi.

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Dans le fil "une jolie égalité" j'en suis arrivé au stade suivant: si on "invente" le déterminant pour les corps, alors on l'a pour tous les anneaux correctement.

Reste à essayer de se mettre à la place d'une civilisation extra-terrestre qui ne le connait pas. Ca m'étonnerait qu'il y ait beaucoup de monde qui irait se prendre le chou (je veux dire parmi les E.T.) avec des histoires de signatures et de formes alternées à froid.

Bon, alors comment le retrouver.

Dans $F_2$, le déterminant d'une matrice inversible est toujours 1, donc c'est un peu mangeur d'information.

Par contre, je crois bien que dans $F_3 := \{-1;0;1\}$, on a déjà une notion intéressante qui se dégage. Peut-être bien une notion d'orientation

Puisque c'est un fil "catalogue", je recopie une preuve de DSP: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,607926,608565#msg-608565

pour illustrer une autre instance de la puissance du déterminant. Il s'agit d'un énoncé qui ne parle pas du tout de déterminant mais qui semble se prouver avec la notion de déterminant d'une manière simple.

Soit $K$ un corps infini.
Soit $E$ un espace vectoriel de matrices carrées n×n à coefficients dans $K$
On suppose que $E$ contient une matrice inversible.
Alors il y a une base de $E$ composée de matrices inversibles.

(on remarque que l'énoncé n'évoque que les notions d'ev et de matrices)

preuve: on construit une suite finie maximale $u_1,...,u_k$ d'éléments inversbles de $E$. Autrement dit, $u_i$ n'est pas dans l'ev engendré par $u_1,..,u_{i-1}$ et tout élément de $E$, inversible est dans l'ev F engendré par $u_1,...,u_k$.

Supposons que $F\neq E$. Soit $v\in E\setminus F$

Soit P le polynôme $t\mapsto det(u_1+tv)$. Alors $P(0)\neq 0$ et pour tout $t\neq 0: P(t)=0$. En effet, sinon la matrice $u_1+tv$ serait inversible et serait donc dans $F$ mais alors $tv=(u_1+tv)-u_1$ serait dans $F$ et donc $v$ y serait aussi.

Comme le corps $K$ est infini, ce n'est pas possible.

La famille des $u_i$ est libre et donc, comme finalement $F=E$, c'est une base de $E$


(Cela montre d'ailleurs que toute famille libre et maximale parmi les familles de matrices inversibles est une base de $E$ )

bon il aura pas duré lgtps le sevrage, numericable a fait vite apparemment

Revenant sur ce qu'a dit Meu, du coup, on peut se demander la chose suivante:

Soit G un graphe et A un anneau.

Sur $A[Sommets^2]$ (non commutatif) on peut quotienter pas les relations:

$(u,v)==0$ quand $(u,v)$ n'est pas une arête de G

$(u,v).(v,w)==(u,w)$ pour tous $u,v,w$ sommets

$(u,v).(w,t)==0$ quand $v\neq w$

Ca a peut-être été étudié (bon c'est une digression, juste petite question comme ça)

autocitation (je la mets dans ce fil pour qu'elle soit plus visible, l'autre étant long et mélangeant démos et palabre)

*** Définition classique: det(M) = (somme pour $s\in A_n$ des $\prod m(i,s(i))$ ) - (somme pour $s\in S_n\setminus A_n$ des $\prod m(i,s(i))$).

En notant $A_n$ l'ensemble des $s\in S_n$ de signature positive

Une question d'ailleurs semble probablement physico-mathématiquement intéressante: on peut (voir la formule) considérer que $det(M) = Partie^+(M)-Partie^-(M)$.

Y a-t-il quelque chose de notable qui ait été découvert à propos des parties prises séparément???