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petit problème style certificat d'études

Envoyé par rupp V Zorn 
petit problème style certificat d'études
il y a trois années
avatar
J'ai pense à ce petit problème ce matin devant la gare :

Existe-t-il d'autres heures que 12:00 ou 00:00 pour laquelle les aiguilles des heures et des minutes sont confondues ?

et

Existe-t-il d autres heures que 12:00:00 ou 00:00:00 pour laquelle les aiguilles des heures, des minutes et des secondes sont confondues ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
gb
Re: petit probleme style certificat d etudes
il y a trois années
avatar
La réponse à la première question est affirmative, il suffit d'invoquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Il est aisé de calculer quand le phénomène se produit.

Le second problème se met facilement en équations, mais je ne vois pas d'argument pour conclure sans calculs.
Re: petit probleme style certificat d etudes
il y a trois années
avatar
Bonjour.

Dans l'idéal, en dehors des éventuelles contraintes mécaniques, il existe onze positions distinctes pour lesquelles les deux aiguilles se confondent ; mais ce n'est pas un problème de certificat d'étude.

Le problème, plus général, des positions pour lesquelles on peut échanger les deux aiguilles en trouvant deux instants "possibles" est traité dans le livre de I. Perelman "l'algèbre récréative" aux Editions en langue étrangère, Moscou.

Bruno
Re: petit probleme style certificat d etudes
il y a trois années
Soit $x$ le nombre de minutes écoulées depuis minuit.

L'aiguille des minutes a tourné de $6x$ degrés et l'aiguille des heures de $\dfrac{x}{2}$ degrés. Elles sont donc confondues si et seulement s'il existe $k\in \Z$ tel que $6x = \dfrac{x}{2} + 360k$, i.e $x = \dfrac{720k}{11}$.
Ce qui donne bien un alignement $11$ fois par jour. Après, il suffit de regarder, pour ces $11$ fois, où se trouve l'aiguille des secondes. Et on constate qu'elle n'est jamais aligné avec les deux autres, sauf à minuit (modulo 12 heures).
bs
Re: petit probleme style certificat d etudes
il y a trois années
avatar
Bonsoir,

Pour le deuxième problème; la réponse est non; par contre, à quelle heure l'angle formé par les trois aiguilles (l'une étant à l'intérieur du secteur angulaire formé par les deux autres) est-il le plus petit ?... (en dehors de midi).

Amicalement.
Re: petit problème style certificat d'études
il y a trois années
avatar
Salut,

je ne m'étonne pas que Bruno soit aussi un lecteur de Pérelman!!! (je l'ai en double, je regrette juste de ne pas avoir l'édition originale, ma mère avait vécu en URSS...)

winking smiley

F.D.
Re: petit problème style certificat d'études
il y a trois années
avatar
En fait c'est aussi un equivalent du paradoxe d'Achille et de la tortue :

1) Soit T le temps mis en minutes pour faire un tour de cercle par l'aiguille des minutes:
La premiere intersection se trouve a : $t_1=\sum_{i=0,\ldots,\infty} \frac{T}{12^i}$ soit $t_1=T \times \frac{12}{11}$ . Comme on peut considerer , a partir de ce moment , qu'on peu poser $t_1$=00h00mn et obtenir un probleme equivalent , on obtient $t_2=t_1+\sum_{i=0,\ldots,\infty} \frac{T}{12^i}=2 \times t_1$ donc finalement onze solutions : $t_i = i \times \frac{12}{11}\times 60, i=1,\ldots,11$ .( puisque T=60 minutes ) La onzieme solution correspondant a 00:00 ( ou 12:00) .

2) Un argument de symetrie - me semble-t'il est encore plus direct : comme le probleme admet 11 solutions , situees entre $0i$h$(5\times i)$mn et $0i$h$(5\times i+5)$mn , $i=1,\ldots,11$. Si $t_1$ est la duree en minute de la premiere intersection , les solutions sont invariantes par des rotations de $t_1$ minutes donc , comme il y en a 11 , $t_1=1/11$ de la duree d'un tour de l'aiguille des heures , soit $\frac{1}{11}$ de 720 minutes

3) avec le meme raisonnement , il y a 59 positions pour lesquelles les minutes seront confondues avec les secondes , aux temps $t_j = j \times \frac{60}{59}$ minutes , $j=1,\ldots,59$ ( modulo les heures ). Pour qu'il y ait conjonction des trois aiguilles , il faut donc que $\frac{60}{11} \times i=j\times \frac{60}{59}$ pour $1 \leq j \leq 59$ et $1 \leq i \leq 11$ ce qui donne : $59 \times i = 11 \times j $ ce qui implique que $i=11$ et $j=59$ donc que l'heure soit 00h00mn00sec



Edité 10 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par rupp V Zorn.
Re: petit problème style certificat d'études
il y a trois années
Bonjour,

Citation

quand sont-elles le plus proche ?

Le problème s'était posé il y a un certain temps sur un forum anglais, j'avais calculé que :

A part 00:00:00 et 12:00:00, où elle font un angle nul, à
03:16:16.3560,
08:43:43.6439,
15:16:16.3560 et
20:43:43.6439
elles font un angle de 0.500695 degrés
(et l'aiguille des secondes est alors superposée à l'aiguille des heures)

Amicalement.
Philippe
Re: petit probleme style certificat d etudes
il y a trois années
avatar
bs écrivait:
-------------------------------------------------------
> Bonsoir,
>
> Pour le deuxième problème; la réponse est non; par
> contre, à quelle heure l'angle formé par les trois
> aiguilles (l'une étant à l'intérieur du secteur
> angulaire formé par les deux autres) est-il le
> plus petit ?... (en dehors de midi).

Forcement le probleme se situe , pour chacun des 11 temps de coincidence entre l'aiguille des heures et celle des minutes au moment ou l'aiguille des secondes vient rencontrer celles des heures ( si on continue a partir de ces moment la ) ou bien au moment ou l'aiguille des secondes va quitter celle des heures ( si on vient a rebours des moments en question ) , donc c'est le plus petit des moments ou l'aiguille des heures vient rencontrer celle des secondes , juste apres ou juste avant les 11 positions de superpositions des aiguilles des heures et des minutes .on trouve le calcul des temps optimaux sur internet : [archive.numdam.org]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par rupp V Zorn.
bs
Re: petit problème style certificat d'études
il y a trois années
avatar
Bonsoir,

J'avais découvert ce problème d'angle minimum entre les trois aiguilles dans le "Sixth book of mathematical diversions from Scientific American" de Martin Gardner au Chapitre 5. Je me souviens que MG donnait la réponse sans expliquer pourquoi, et n'avais pas su trouver le raisonnement à l'époque. Par contre, ce livre n'est plus dans ma bibliothèque à sa place...

Merci chephip et rupp V Zorn pour vos réponses et liens :)

Dans le lien numdam apparaissent les initiales R.B. et M.C.E.T. Qui sont ces mathématiciens ? Merci.

Amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par bs.
Re: petit problème style certificat d'études
il y a trois années
avatar
> Dans le lien numdam apparaissent les initiales
> R.B. et M.C.E.T. Qui sont ces mathématiciens ?

R.B c'est peut-etre Raoul Bricard ?
bs
Re: petit problème style certificat d'études
il y a trois années
avatar
Re,

Eh oui, fort possible, vu que, toujours dans ton lien, RB propose ensuite un exercice intéressant avec un quadrilatère circonscrit à une conique, et des triangles...C'est rigolo car Henri Brocard était également géomètre.

Amicalement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par bs.
Re: petit problème style certificat d'études
il y a trois années
Bonjour,

A propos de Perelman, on y trouve une variante sympa :

"Quand est-ce que les aiguilles d'une montre occupent une position telle que leur interversion donne une nouvelle position, également possible avec une montre en bon état ?"

Pour illustrer ses propos il cite l'exemple de la position des aiguilles à 6h00, si on échange les deux aiguilles, la petite sur 12 et la grande sur 30, cela donne une position erronée car à 12h30, la petite aiguille n'est pas sur 12 mais un peu plus loin.

Amicalement.
Philippe.
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