petit problème style certificat d'études

En fait c'est aussi un equivalent du paradoxe d'Achille et de la tortue :

1) Soit T le temps mis en minutes pour faire un tour de cercle par l'aiguille des minutes:
La premiere intersection se trouve a : $t_1=\sum_{i=0,\ldots,\infty} \frac{T}{12^i}$ soit $t_1=T \times \frac{12}{11}$ . Comme on peut considerer , a partir de ce moment , qu'on peu poser $t_1$=00h00mn et obtenir un probleme equivalent , on obtient $t_2=t_1+\sum_{i=0,\ldots,\infty} \frac{T}{12^i}=2 \times t_1$ donc finalement onze solutions : $t_i = i \times \frac{12}{11}\times 60, i=1,\ldots,11$ .( puisque T=60 minutes ) La onzieme solution correspondant a 00:00 ( ou 12:00) .

2) Un argument de symetrie - me semble-t'il est encore plus direct : comme le probleme admet 11 solutions , situees entre $0i$h$(5\times i)$mn et $0i$h$(5\times i+5)$mn , $i=1,\ldots,11$. Si $t_1$ est la duree en minute de la premiere intersection , les solutions sont invariantes par des rotations de $t_1$ minutes donc , comme il y en a 11 , $t_1=1/11$ de la duree d'un tour de l'aiguille des heures , soit $\frac{1}{11}$ de 720 minutes

3) avec le meme raisonnement , il y a 59 positions pour lesquelles les minutes seront confondues avec les secondes , aux temps $t_j = j \times \frac{60}{59}$ minutes , $j=1,\ldots,59$ ( modulo les heures ). Pour qu'il y ait conjonction des trois aiguilles , il faut donc que $\frac{60}{11} \times i=j\times \frac{60}{59}$ pour $1 \leq j \leq 59$ et $1 \leq i \leq 11$ ce qui donne : $59 \times i = 11 \times j $ ce qui implique que $i=11$ et $j=59$ donc que l'heure soit 00h00mn00sec

bs écrivait:

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> Bonsoir,
>
> Pour le deuxième problème; la réponse est non; par
> contre, à quelle heure l'angle formé par les trois
> aiguilles (l'une étant à l'intérieur du secteur
> angulaire formé par les deux autres) est-il le
> plus petit ?... (en dehors de midi).

Forcement le probleme se situe , pour chacun des 11 temps de coincidence entre l'aiguille des heures et celle des minutes au moment ou l'aiguille des secondes vient rencontrer celles des heures ( si on continue a partir de ces moment la ) ou bien au moment ou l'aiguille des secondes va quitter celle des heures ( si on vient a rebours des moments en question ) , donc c'est le plus petit des moments ou l'aiguille des heures vient rencontrer celle des secondes , juste apres ou juste avant les 11 positions de superpositions des aiguilles des heures et des minutes .on trouve le calcul des temps optimaux sur internet : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1923_5_2_/NAM_1923_5_2__35_0/NAM_1923_5_2__35_0.pdf

> Dans le lien numdam apparaissent les initiales
> R.B. et M.C.E.T. Qui sont ces mathématiciens ?

R.B c'est peut-etre Raoul Bricard ?