Forme k-linéaire

soussou1009f · December 2010

Pourquoi considère-t-on que la forme 1-linéaire est toujours alternée?

Ga? · December 2010

Bonjour,

D'abord, il faudrait parler d'une forme 1-linéaire (ou tout simplement d'une forme linéaire) et pas de la forme ...

Ensuite, la définition de forme $k$-linéaire alternée dit qu'une forme 1-linéaire est alternée :
Une forme $k$-linéaire $(x_1,\ldots,x_k)\mapsto f(x_1,\ldots,x_k)$ est alternée quand pour tous $i,j$ avec $1\leq i<j\leq k$, $x_i=x_j$ entraîne $f(x_1,\ldots,x_k)=0$.
La condition est vide quand $k=1$, et donc satisfaite par toute forme linéaire. Il faut bien ça pour avoir le déterminant d'une matrice $1\times 1$, d'ailleurs.

jaclaf · December 2010

autre façon de voir les choses : une forme $k$-linéaire est alternée
si pour toute permutation $\sigma$, on a
$f(x_{\sigma (1)}, \cdots, x_{\sigma (k)}= (-1)^{sign(\sigma)}f(x_1,\cdots,x_k)$
Si $k=1$, la seule permutation est l'identité, donc la condition est toujours vérifiée.

Ga? · December 2010

Si je peux me permettre, jaclaf, tu confonds "alternée" et "antisymétrique".

Amtagpa · December 2010

Bonjour,

Même si la définition suffit, on peut aussi le voir comme l'a fait jaclaf en utilisant l'équivalence entre "alternée" et "antisymétrique" qui a lieu quand le corps est de caractéristique différente de 2 ?

Ga? · December 2010

Je ne comprends pas le sens de ta question, Amtagpa. Jaclaf montre qu'une forme linéaire (1-linéaire) est antisymétrique. C'est moins fort qu'alternée (il y a effectivement le problème de la caractéristique 2). La question originale concernait "alternée".

Amtagpa · December 2010

Je voulais juste dire que si l'on se place dans le cas d'un corps de caractéristique différente de 2, on peut justifier le fait qu'une forme linéaire est alternée par le fait qu'elle est antisymétrique. Mais je suis d'accord que c'est vrai dans le cas général d'après la définition.

Ga? · December 2010

Certes. Mais je pense qu'il est tout de même indispensable de ne pas confondre alterné et antisymétrique.

Amtagpa · December 2010

Ok.

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