équation différentielle, étude de fonction

maths01
maths01
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Voilà je bloque pour la résolution de mon exercice.

Voici l'énoncé :

Partie A : résolution de l'équation différentielle (E) Y' + Y = x - 1
N.B : une fonction f est solution de cette équation si seulement pour tout x f'(x) + f(x) = x - 1.

1) Prouver que la fonction f0 définie sur par f0(x) = x - 2 est solution de (E)
2a) Monter que que si f est solution de (E) alors f - f0 est solution de l'équation (E0) : Y' + Y = 0.
b) Résoudre (E0).
c) En déduire que si f est solution de (E) alors f est définie par f(x) = Ce^-x + x -2 ou C est une constante réelle.
d) Réciproquement montrer que toute fonction f est définie par f(x) = Ce^-x + x -2 est solution de (E).
e) Conclure sur l'ensemble des solutions de l'équation de (E).
f) Déterminer la fonction f solution de (E) dont la courbe représentative admet une tangente au point d'abscisse 0 parallèle à la droite d'équation y = 2x + 1.

Partie B : étude de fonction

Soit f la fonction définie sur par f(x) = x -2 + e^1-x.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, i, j ) unité de grandeur : 1 cm
On désigne par Cf la courbe représentative de f.

1a) Etudier le sens de variation de f.
b) Déterminer les limites de f en - l'infini et + l'infini
2a) Montrer que la droite T d'équation y = x - 2 est asymptote à la courbe Cf.
b) Préciser la position de Cf par rapport à la droite T .
3) Tracer T et Cf.

Merci d'avance de m'aider.

Réponses

  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    dis nous ce que tu as fait, nous te corrigerons éventuellement
    et nous compléterons ta solution

    au travail!

    cordialement
  • maths01
    maths01
    Bonjour, voici ce que j'ai fait :

    Partie A :

    1) On veut démontrer que la fonction fo(x) = x - 2 est solution de l'équation (E) y ' + y = x - 1.
    A cet effet, on remplace dans cette équation y et y ' par fo(x) et fo '(x) pour voir si elle est effectivement vérifiée :
    fo '(x) + fo(x) = x - 1
    (x - 2)' + (x - 2) = x - 1
    1 + (x - 2) = x - 1
    1 - 2 = - 1
    - 1 = - 1, ce qui est vrai; l'équation est vérifiée et la fonction fi(x) en est une solution.

    2a) ( f - fo )' + (f - f0) = 0
    ( f' - 1 ) + (f - (x +2)) = 0

    Mais je ne vois toujors pas comment trouver f.

    2b)résoudre (E0): y' + y = 0

    La solution de de l'equation différentielle y' + y = 0, équivaut à y' = - y, sont les les fonctions f définies dur R par f(x) = Ce^-x avec C constante réelle.

    Est- juste ?

    Pour la 2c) il faut résoudre (E) ?
    Pour la 2d) j'ai pas su répondre ainsi que la e) et f).

    Prtie B :

    1a) f(x) = x - 2 + e ^1 - x

    Donc f ' (x) = 1 - e ^ 1 - x
    f est du signe de 1 puisuqe e ^ 1 - x est supérieur à o

    Mais alors f est constante ?

    1b) limite de (x - 2 ) quand x tend vers - l'infini = - l'infini
    limite de ( e ^ 1 - x ) quand x tend vers - l'infini = 0 ???? donc limite de f quand x tend vers - l'infini = - l'infini ????

    2a) On a f(x) = x - 2 + e ^1 - x avec limite de ( e ^ 1 - x ) quand x tend vers - l'infini = 0 ????
    donc la droite d'equation y = x - 2 est asymptote à à la courbe Cf.

    2b) Cf est au dessus de de la droite entre - l'infini et 1 ????


    Merci de me corriger et de me guider dans la résolution de l'exrcercie. Ma rédaction est au pas très laborieuse.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Dans le A)1), il te manque des équivalences.
    Dans le A)2)a), on ne te demande pas de trouver f.
    A)2)b), oui.
    A)2)c) et d) sont une compilation des trois premières questions, notamment A)2)a) plus les deux autres.
    A)2)e) est fait dans le c) et le d).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • maths01
    maths01
    Bonsoir,

    Pour la A)2)c) je ne vois pas comment rédiger : dois- je faire des équivalence ou resoudre (E) ?
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Résoudre (E) par analyse : si f est solution de f, alors bla bla bla A)2)a), or ci A)2)b) et ça A)1), et donc f est de la forme truc machin.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • maths01
    maths01
    Voici ce que j'ai mis :

    On a trouvé que la fonction Ce^(-x) était solution de (Eo).
    Or, on sait que f - fo , soit f - (x - 2) , est solution de (Eo).
    Donc f - (x - 2) = Ce^(-x) et par suite f = Ce^(-x) + x - 2..


    Pour la 2d) ( je me reporte à 2c) et 2e) j'ai le même problème !
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Pour A)2)d), c’est trivial, vraiment.
    A)2)e) n’est que la conclusion des sens direct et réciproque que sont c) et d).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • maths01
    maths01
    Pour la 2)d) je dois dire que si f EST Définie par f(x) = Ce ^1 - 2 alors on f - f0 = cE ¨1 - X OR fi f(x) est définie par f(x) = x - 2 est solution de ( E) et A)2)b)
    donc f est définie par f(x)= Ce^-x + x -2 est solution de (E).

    pouR la 2e) j'ai su répondre

    Mais pour la 2f) je dois trouver l'équation de la tengente à Cf au point d'absisse 0 ???
  • MmeFeibel
    MmeFeibel
    Bonjour,

    Non, pas besoin de l'équation de la tangente, il te suffit d'utiliser les données de l'énoncé pour dégager une condition :
    La courbe représentative admet une tangente au point d'abscisse 0 parallèle à la droite d'équation y = 2x+1 donc, qu'en déduit-on pour la tangente ? etc..
  • maths01
    maths01
    Bonjour,

    La tangente a le même coefficient directeur que la droite d'equation y = 2 x + 1. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d'abcsisse 0 est f'(0) = 2.
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