colle MPSI

biroke · January 2011

slt , j'ai 1e kestion svp :
produit de i=1 jusqua n de Xi est inferieure a 2^-n avec les Xi appartient a [0.1]

[Peut-être voulais-tu dire ceci ? J'en profite pour traduire aussi en LaTeX

. AD]

Salut
J'ai une question, svp : $$ \prod_{i=1}^n X_i \leq 2^{-n},\quad \mathrm{avec}\ X_i\in [0;1]$$

nicolas.patrois · January 2011

Quelqu’un sait traduire le poney ?

Lucas · January 2011

De toute façon, c'est faux.

Braun · January 2011

Bonjour,
A vue de nez et en parodiant Dilat Laraht (in La boîte à souvenirs de Tabary) cela voudrait dire~:
$\displaystyle \frac{3}{4} \leq 2^{-1}$
Bonne année quand même.

incognito · January 2011

Le mode TeX à l'air en panne sur le forum. Donc je me cite :

Le bon énoncé (je présume) est: pour $x_i\in[0;1]$, montrer que :
$$\prod_{i=1}^n x_i\leq 2^{-n}\hbox{ \bf OU }\prod_{i=1}^n (1-x_i)\leq 2^{-n}$$

biroke · January 2011

Voici le l'énoncé : http://mpsi.tuxfamily.org/colles/semaine12-1011.pdf

Monsieur Dutilleul · January 2011

Cela parait grossierement faux si $x_i=1 \forall i=1,\ldots,n$.

incognito · January 2011

Je répète donc:

Le bon énoncé (cette fois-ci c'est sûr) est: pour $x_i\in[0;1]$, montrer que:

$$\prod_{i=1}^n x_i\leq 2^{-n}\hbox{ \bf OU }\prod_{i=1}^n (1-x_i)\leq 2^{-n}$$

Benoit RIVET · January 2011

Peut-être suffit-il de faire le produit des deux termes pour constater qu'effectivement, l'un au moins est bien inférieur ou égal à $ 2^{-n} $.

Monsieur Dutilleul · January 2011

oui,autant ( (:P) ) pour moi... Ca sent la concavité du log cette histoire...

Juge Ti · January 2011

Salut,

On peut commencer par montrer que $0\leq x(1-x)\leq\dfrac{1}{4}$ pour tout $x$ de $[0,1]$.

inception · January 2011

effectivement juge Ti je pense qu'une petite recurrence sur n resout le probleme assez rapidement

Juge Ti · January 2011

Pas besoin de récurrence. Il suffit de considérer $\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i(1-x_i)$.

mamane1 · January 2011

si tout les x_i sont inférieurs à 1/2 alors on a bien la première

si tout les x_i sont supérieur à 1/2 alors on a bien la seconde.

si on des 2, on commence par séparer l'ensemble des x_i en 2 sous ensembles regroupant les élément inférieur à 1/2 et les élément supérieur à 1/2.

après la suite est facile... sachant que ces deux sous ensembles sont dénombrables.