Matrice de Concordia
Bonjour,
En électrotechnique, il existe des transformations permettant le passage de grandeurs d' un système triphasé à un système diphasé équivalent. Ces transformations font apparaître des grandeurs directement utilisables dans la commande des machines électriques par exemple.
L'une de ces transformations est appelée transformation de Concordia et s'écrit :
\[
[C_o] = \sqrt{\dfrac{2}{3}}
\begin{pmatrix}
\vspace*{1mm}
1 & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\vspace*{1mm}
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\]
Elle permet donc le passage d'un système triphasé $(a,b,c)$ (3 vecteurs déphasés de 120°) à un système $(\alpha , \beta , h)$.
Les vecteurs \(\alpha\) et \(\beta\) forment un système diphasé, \(\alpha\) étant aligné avec $a$ et \(\beta\) étant en quadrature avec \(\alpha\). On leur adjoint un vecteur $h$ (homopolaire), tel que que $(\alpha , \beta , h)$ forme un trièdre direct.
Par le calcul on constate que \([C_o]\cdot {}^t [C_o] = [C_o]\cdot [C_o]^{-1} = \), la matrice de Concordia est donc orthogonale.
D'après mes (faibles) connaissances, il me semble que si cette matrice est orthogonale, elle s'interprète comme la matrice de passage entre deux bases orthonormées. Or, il me semble que ce n'est pas le cas de la base $(a,b,c)$.
Quelqu'un a-t-il une explication à me fournir pour m'aider à comprendre cette difficulté ?
Merci d'avance.
En électrotechnique, il existe des transformations permettant le passage de grandeurs d' un système triphasé à un système diphasé équivalent. Ces transformations font apparaître des grandeurs directement utilisables dans la commande des machines électriques par exemple.
L'une de ces transformations est appelée transformation de Concordia et s'écrit :
\[
[C_o] = \sqrt{\dfrac{2}{3}}
\begin{pmatrix}
\vspace*{1mm}
1 & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\vspace*{1mm}
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\]
Elle permet donc le passage d'un système triphasé $(a,b,c)$ (3 vecteurs déphasés de 120°) à un système $(\alpha , \beta , h)$.
Les vecteurs \(\alpha\) et \(\beta\) forment un système diphasé, \(\alpha\) étant aligné avec $a$ et \(\beta\) étant en quadrature avec \(\alpha\). On leur adjoint un vecteur $h$ (homopolaire), tel que que $(\alpha , \beta , h)$ forme un trièdre direct.
Par le calcul on constate que \([C_o]\cdot {}^t [C_o] = [C_o]\cdot [C_o]^{-1} = \), la matrice de Concordia est donc orthogonale.
D'après mes (faibles) connaissances, il me semble que si cette matrice est orthogonale, elle s'interprète comme la matrice de passage entre deux bases orthonormées. Or, il me semble que ce n'est pas le cas de la base $(a,b,c)$.
Quelqu'un a-t-il une explication à me fournir pour m'aider à comprendre cette difficulté ?
Merci d'avance.
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Réponses
il n'y pas grand chose à comprendre. Ta matrice étant orthogonale, elle ne peut pas transformer (a,b,c) non orthogonaux deux à deux en $( \alpha , \beta , h)$ trièdre direct. C'est impossible. Donc quand tu affirmes qu'elle transforme (a,b,c) en $( \alpha , \beta , h)$ tu te trompes.
Ca marche si on voit les choses dans $\R^3$ : les trois vecteurs déphasés de $2\pi/3$, tu les vois comme un trièdre rectangle vu en perspective cavalière.
Autrement dit, en identifiant $\R^3$ à $\C\times \R$ : $a=\bigg(\sqrt{\dfrac{2}{3}}e^{j{\theta}},\sqrt{\dfrac{1}{3}}\bigg)$, $b=\bigg(\sqrt{\dfrac{2}{3}}e^{j(\theta+2\pi/3)},\sqrt{\dfrac{1}{3}}\bigg)$, $c=\bigg(\sqrt{\dfrac{2}{3}}e^{j(\theta+4\pi/3)},\sqrt{\dfrac{1}{3}}\bigg)$. Alors $\alpha= (e^{j\theta},0)$, $\beta=\big(e^{j(\theta+\pi/2)},0\big)$ et $h=(0,1)$.
($j=i$ ).