Hommage à ev
ev pose un problème dans sa classe à Cadichon et Anatole :
Il s'agit de calculer l'aire du bonnet d'âne (ou du bonnet d'ev) ci-dessous avec les coordonnées des points A,B,C,D,E notées sur la figure.
Il s'agit de calculer l'aire du bonnet d'âne (ou du bonnet d'ev) ci-dessous avec les coordonnées des points A,B,C,D,E notées sur la figure.
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Réponses
Je propose une solution probabiliste.
amicalement,
e.v.
C'est une jolie variante du fameux découpage de rectangles à base de nombres de Fibonacci.
@egoroffski: indeed!
Quid des questions Q2 et Q3 ?
Les points AEC ne sont pas alignés, donc le deuxième calcul est faux
Edit : oups grilled... et pas qu'un peu !
qui contient plein de choses sympathiques.
Edit : alternativement, on peut ajouter l'aire d'un parallèlogramme basé sur $[AE]$ et $[AB]$ et l'aire du triangle $BEC$.
On peut aussi faire du calcul intégral
aire du rectangle OADD' avec O(0,0) et D' la projection de D sur l'axe des abscisses
- aire du rectangle formés des deux triangles OAB + CDD'
- aire du rectangle formé des deux triangles AE'E + EE'D avec E'(4,5)
Edit : Q4 : Q3 :
Cadichon, je l'ai dans Martine (si ma mémoire est bonne, j'ai une soeur)
Anatole, je l'ai dans Philemon (Merci google, je ne m'en souvenais plus)
Différence entre l'aire du plus petit rectangle contenant le bonnet (adhérence ?) et la somme des aires des 3 triangles : $8\times5-\dfrac12(5\times1+5\times1+8\times3)=23$.
On peut le faire ici : http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml
et ça donne bien 23 !
Par contre, je suis surpris que personne n'ait retrouvé l'origine de Cadichon (je ne pensais pas à Martine). Je pensais que ce serait le contraire (peu de gens connaissent Philémon)...
Allez, encore un petit effort...
amicalement,
e.v.
ev, tu mérites le titre de Cadichon, âne savant
La démonstration de la formule de Pick présentée sur la page Wikipédia référencée par GB est sympathique, mais en connaissez-vous d'autres ? Je serais surpris qu'il n'y ait pas de démonstration à base de formule de Green-Riemann par exemple.
Pour me rattraper je propose de calculer l'aire par la méthode de Monte-Carlo avec Maple :
ça m'amuserait d'en voir une à coup de Green-Riemann. Tu t'y colles?
On dispose de $n \times m $ points formant un rectangle. On trace un chemin commençant en haut à gauche,
finissant en bas à droite, et passant par tous les points ( une seule fois par point). On écrit $a$ dans chaque carré
débouchant au nord ou à l'est. On écrit $b$ dans chaque carré débouchant au sud ou à l'ouest.
Sur la figure $n=5$ et $m=8$
Montrer qu'il y a autant de $a$ que de $b$.
Ce problème est le 10406 du Am. Math. Monthly Volume 101, No. 8 (Oct., 1994), p. 793.
S
La réf. [4] : http://www.jstor.org/pss/2975035
Cordialement,
B.