intégration impropres

jimtook · February 2011

bonjour,

je suis heurté à un petit problème dont voici l'énoncé:

calculer la valeur de l'intégrale allant de 0 à "a" de 1/((1+x^2)*racine(4+x^2)) dx ("a" tend vers +l'infini)

avec un changement de variable: t=arg(sh(x/2)) puis U=exp(2t)

j'ai commencé par trouver x en fonction de t: x= 2sh(t)
puis dx: dx=2ch(t)dt

j'obtiens : intégrale de 0 à arg(sh(a/2)) de 2ch(t)/(1+sh^2(t))*racine(4+sh^2(t)))dt

je simplifie (1+sh^2(t))par : ch^2(t) => il reste 2/(ch(t)*racine(4+sh^2(t)))dt

mais je coince pour la racine...

gb · February 2011

jimtook a écrit:

j'ai commencé par trouver x en fonction de t: x=2sh(t)

En conséquence de quoi~:
\[\sqrt{4+x^2}=\sqrt{4+4\mathrm{sh}^2t}=\sqrt{4\mathrm{ch}^2t}=\dots\]
et les radicaux devraient disparaître définitivement du calcul.

jean lismonde · February 2011

bonjour

la convergence de l'intégrale I(a) ne pose pas de problème
et on remarque que l'intégrande est fonction paire en x

le changement x = 2sh(t) est bon (mais n'est pas le seul)
soit t = ln[x/2 + rac(x²/4 + 1)] et l'intégrale impropre devient

intégrale de dt/[1 + 4sh²t) soit encore

intégrale de exp(2t).dt/[exp(2t) - exp(t) + 1]

soit (1/rac(3)).Arctan[2exp(2t) - 1]/rac(3) soit en revenant en x

(1/rac(3)).Arctan[x² + 1 + x.rac(x²+4)]/rac(3) calculée de 0 à a soit encore:

I(a) = (1/rac(3)).[Arctan[a²+1+a.rac(a²+1)]/rac(3) - pi/6]

lorsque a tend vers + oo la limite est pi/[3.rac(3)]
lorsque a tend vers - oo la limite est - pi/[3.rac(3)]

il est possible d'envisager un autre changement de variable d'intégration avec x = 2.tan(u)
peut-être plus judicieux que le premier
puis v = sinu avec - pi/2 < u < pi/2 il vient alors:

I(a) = intégrale de dv/(1+3v²) = (1/rac(3)).Arctan(v.rac(3))=

(1/rac(3).Arctan(rac(3).sinu)= (1/rac(3)).Arctan[x.rac(3)/rac(x²+4)] à calculer entre 0 et a soit:

I(a) = (1/rac(3)).Arctan[a.rac(3)/rac(a²+4)]

pour a infini on retrouve la limite déterminée plus haut soit pi/[3rac(3)]

cordialement

intégration impropres

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 18