dérivée d'une fonction réciproque

Mic_08 · February 2011

Titre initial : problème d'une dérivée par fonction réciproque
[On se doute bien que tu as un problème, est-il indispensable de le mettre dans le titre ? AD]

Bonjour,

Voilà, je suis bloqué à un problème où il faut calculer la dérivée y' par la méthode de la fonction réciproque.
La donnée est :

a) y=Arcsin(√x)

Si quelqu'un peut m'aider en indiquant son développement, ce serait gentil.
Merci d'avance.

gerard0 · February 2011

Bonjour.

1) Calculer l'expression de la fonction réciproque $f^{-1}$ (pour $f:x\mapsto \arcsin\sqrt x$).
2) Dériver cette fonction réciproque
2) En déduire le domaine de dérivabilité et la dérivée de f (voir théorème de cours).

Cordialement.

capesard · February 2011

Bonjour,

Il te suffit de suivre les conseils de Gerard0 pour conclure !

on peut poser par exemple
$f:x \rightarrow y=f(x) \qquad$ et son application réciproque
$\qquad g:y \rightarrow x=g(y)$

ici
$sin y = \sqrt{x} \qquad x=g(y)=sin^2 \, y$

De la composition
$(gof)(x)=x$
il vient
$g'(y) \, \times \, f'(x)=1 \qquad g'(y)=2 sin(y)cos(y)$
il ne reste plus qu'à simplifier
$\qquad (cos) \, o \, (arcsin)$
mais cos(u) est localement (dans chaque voisinage de u) une expression algébrique de sin(u)

[ Evite d'utiliser systématiquement \$\$...\$\$ !
Ici il faut 3 écrans pour écrire ce qui tient en 10 lignes ! Bonjour la lisibilité ! AD]

JLT · February 2011

Les physiciens raisonnent ainsi : posons $y=\mathrm{Arcsin}(\sqrt{x})$. On a $x=\sin^2y$ donc $dx=2\sin y\cos y\,dy=2\sqrt{x(1-x)}\,dy$, ce qui donne $dy/dx=\cdots$.

C'est moins rigoureux qu'en maths mais au moins ils y arrivent facilement, alors que les étudiants de maths "rament" avant d'arriver au bon résultat.

pappus · February 2011

Le grand problème d'une fonction réciproque, ce n'est pas tant de calculer sa fonction dérivée (si elle existe) mais plutôt de donner son domaine de définition et éventuellement une façon de la calculer au moyen de fonctions connues (si c'est possible).
Il se peut aussi qu'on puisse calculer la fonction dérivée (d'une fonction réciproque) au moyen de fonction connues sans qu'on puisse le faire pour la fonction réciproque.
Evidemment, il faut s'entendre sur ce qu'on appelle le catalogue des fonctions connues.
Plus on est calé en analyse et plus ce catalogue est copieux!
Ici en l'occurrence, il ne suffit pas d'écrire:$x = \sin^2(y)$ mais il faut impérativement donner la partie de $\R$ dans laquelle doit vivre $y$.

Amicalement
Pappus

JLT · February 2011

Je sais bien... Mais en voulant faire en sorte que les étudiants résolvent le "grand problème", ceux-ci ne savent souvent même plus résoudre le "petit problème"!