longueur de la demi-droite
dans Les-mathématiques
Titre initial : La longueur d'une demi-droite est-elle égale à infini/2 ?
[Le titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour poser ta question. AD]
Bonjour à tous ceux qui réfléchissent à la notion de l'infinité.
La notation infini/2 est-elle utilisée en mathématiques ?
Par exemple, la longueur d'une demi-droite est-elle égale à infini/2 ?
[Le titre doit être concis. Tu as tout le corps du message pour poser ta question. AD]
Bonjour à tous ceux qui réfléchissent à la notion de l'infinité.
La notation infini/2 est-elle utilisée en mathématiques ?
Par exemple, la longueur d'une demi-droite est-elle égale à infini/2 ?
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Réponses
Classiquement, la longueur d'une demi-droite est infinie.
Quand tu écris "la longueur d'une demi-droite est-elle égale à infini/2", il faut déjà que tu définisses :
* Ce que tu appelles "infini";
* Ce que tu appelles (dans ce cas) "/2".
Sinon, c'est de la manipulation de mots, pas du raisonnement.
Cordialement.
soit des operations soit des comparaisons. De ce fait on ne l'utilises pas en effet.
eric
Je dirais même plus, si en période de restrictions on diminue l'infini de 20 %, où va-t-on ?
Quand on commence à vouloir tricher avec l'infini on arrive vite à des aberrations comme la confusion d'une intégrale qui converge en valeur principale de Cauchy avec une intégrale généralisée convergente.
Donc Danger !
\og\ L'infini \fg\ n'est pas un nombre et on ne peut ni l'ajouter, le retrancher, le diviser ou le multiplier. Quant au symbole $\infty$, il désigne tout un tas d'objets mathématiques historiquement plus ou moins liés.
\begin{enumerate}
\item Encore au XVIII[size=small]e[/size] siècle, d'Alembert rappelle que l'on considère des grandeurs infinies qui sont des limites des grandeurs finies, au même titre que la grandeur nulle en est la limite inférieure (voir l'encyclopédie, article \og {\it Grandeurs} \fg\ rédigé par d'Alembert en personne).
\item Actuellement, on garde en héritage la notion de $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ pour désigner la limite, si elle existe de la fonction $f$ quand on attribue à la variable des valeurs de plus en plus grandes.
\item En rapport avec cela mais également pour transformer $\R$ en un segment, on considère la droite {\it achevée} notée $\overline{\R}$ obtenue en adjoignant deux éléments {\it qui ne sont pas des nombres} et que l'on désigne naturellement par $+\infty$ et $-\infty$ puisque l'un est plus grand que tout nombre réel et l'autre plus petit.
\end{enumerate}
Mais on ne peut par naturellement manipuler ces objets comme si c'étaient des nombres réels.
Bruno
Ça faisait longtemps!
Ours est le pseudo d'un intervenant actuellement disparu et dont les messages étaient assez sibyllins, pour rester poli. Jacquot s'est demandé si tu étais un avatar d'ours.
Pour Jacquot
Je ne le pense pas car le style est différent -D.
Bruno
Je me permets d'écrire car Bruno a rappelé quelque chose que je n'ai jamais compris (et dont j'avais même oublié l'existence)
Je me souviens vaguement d'un cours lointain de proba me semble-t-il où le professeur utilisait $\overline{\mathbb{R}}$. Je n'ai jamais compris pourquoi on avait besoin de cet ensemble (qu'est-ce que cela change). Et plus triste, je ne comprends pas ce que cela veut dire. On ajoute à l'ensemble des nombres réels deux éléments qui ne sont pas des nombres (on se retrouve donc avec un ensemble dont tous les éléments ne sont pas de même nature).
Si quelqu'un peut m'éclairer ou me donner de saines lectures sur le sujet cela serait sympa.
Cordialement,
Mister Da
Pour faire court, $\overline{\mathbb{R}}$ est l'ensemble de toutes les limites possibles des suites ou des fonctions numériques. De ce point de vue, tous ses éléments sont de la même nature. Une fois la bestiole apprivoisée, elle serait plutôt sympathique la bougresse.
Amicalement,
e.v.
PS Ours est le poète de ce Phôrüm. Incompris comme il se doit, il nous gratifie de ses fulgurances vertigineuses aux moments où le Phôrüm ronronne.
Cordialement,
Mister Da
D'abord une boutade : Depuis la fin de la scolastique, on ne se préoccupe plus de la nature des objets mathématiques .
Plus sérieusement ;
\begin{enumerate}
\item en théorie des ensembles, les seuls objets considérés sont appelés \og\ ensembles \fg. Par commodité, si un ensemble $x$ vérifie $x \in y$ pour un certain ensemble $y$, on dit que \og\ $x$ est un élément (ou plus simplement élément) de l'ensemble $y$ \fg. Mais je pense que tu sais tout cela.
\item Si l'on se donne un ensemble $x$ on peut toujours construire un nouvel ensemble par adjonction d'un élément : comme l'univers $V$ n'est pas un ensemble, $x$ est distinct de $V$ et il existe un ensemble $y$ tel que $y \notin x$ ; on réalise donc l'adjonction par $z = x \cup \{y\}$.
\item Il n'y a donc aucun problème pour construire $\overline{\R}$ ; ceci ne présente aucun intérêt particulier.
\end{enumerate}
En fait ce sont les structures qui intéressent dans cette construction. D'abord $\overline{\R}$ est un ensemble totalement ordonné ayant un plus petit et un plus grand élément et, dans ce cas, c'est un ensemble ordonné dans lequel toute partie est bornée. Enfin il est muni d'une topologie \og\ naturelle \fg\ qui en fait un compactifié de $\R$ homéomorphe à n'importe quel segment de celui-ci. Dans ce sens, toute suite de nombres réels y admet un point d'accumulation et là nous rejoignons ce qu'a écrit ev.
Bruno
\og Mais je pense que tu sais tout cela.\fg disons que je ne me lasse jamais des rappels !
Ne sachant pas travailler avec les éléments (enfin les ensembles ) $\{-\infty\}$ et $\{+\infty\}$, peut-on encore définir des lois de compositions ? Autrement dit, peut-on définir une structure algébrique sur $\overline{\R}$ ?
J'ai la désagréable sensation d'enfoncer une porte ouverte et de poser une question complètement stupide mais bon.
Cordialement,
Mister Da
En effet, soit \((u)\) et \((v)\) deux suites qui tendent respectivement vers \(\infty\) et \(-\infty\).
Si on pouvait définir une structure algébrique qui jouerait bien, on aurait
\[\infty-\infty=\lim u_n +\lim v_n=\lim (u_n+v_n).\]
Or la dernière limite peut prendre n'importe quelle valeur. Par exemple, 0 si \(v_n=-u_n\), 1 si \(v_n=-u_n+1\), etc.
Très cordialement,
Mister Da