longueur de la demi-droite

Bonjour.

Classiquement, la longueur d'une demi-droite est infinie.
Quand tu écris "la longueur d'une demi-droite est-elle égale à infini/2", il faut déjà que tu définisses :
* Ce que tu appelles "infini";
* Ce que tu appelles (dans ce cas) "/2".

Sinon, c'est de la manipulation de mots, pas du raisonnement.

Cordialement.

Bonsoir,
Je dirais même plus, si en période de restrictions on diminue l'infini de 20 %, où va-t-on ?
Quand on commence à vouloir tricher avec l'infini on arrive vite à des aberrations comme la confusion d'une intégrale qui converge en valeur principale de Cauchy avec une intégrale généralisée convergente.
Donc Danger !

matcob = ours?
Ça faisait longtemps!

Pour matcob.

Ours est le pseudo d'un intervenant actuellement disparu et dont les messages étaient assez sibyllins, pour rester poli. Jacquot s'est demandé si tu étais un avatar d'ours.

Pour Jacquot

Je ne le pense pas car le style est différent -D.

Bruno

Bonsoir Da,

Pour faire court, $\overline{\mathbb{R}}$ est l'ensemble de toutes les limites possibles des suites ou des fonctions numériques. De ce point de vue, tous ses éléments sont de la même nature. Une fois la bestiole apprivoisée, elle serait plutôt sympathique la bougresse.

Amicalement,
e.v.

PS Ours est le poète de ce Phôrüm. Incompris comme il se doit, il nous gratifie de ses fulgurances vertigineuses aux moments où le Phôrüm ronronne.

Bonjour Mister Da.

D'abord une boutade : Depuis la fin de la scolastique, on ne se préoccupe plus de la nature des objets mathématiques .

Plus sérieusement ;

\begin{enumerate}
\item en théorie des ensembles, les seuls objets considérés sont appelés \og\ ensembles \fg. Par commodité, si un ensemble $x$ vérifie $x \in y$ pour un certain ensemble $y$, on dit que \og\ $x$ est un élément (ou plus simplement élément) de l'ensemble $y$ \fg. Mais je pense que tu sais tout cela.
\item Si l'on se donne un ensemble $x$ on peut toujours construire un nouvel ensemble par adjonction d'un élément : comme l'univers $V$ n'est pas un ensemble, $x$ est distinct de $V$ et il existe un ensemble $y$ tel que $y \notin x$ ; on réalise donc l'adjonction par $z = x \cup \{y\}$.
\item Il n'y a donc aucun problème pour construire $\overline{\R}$ ; ceci ne présente aucun intérêt particulier.
\end{enumerate}

En fait ce sont les structures qui intéressent dans cette construction. D'abord $\overline{\R}$ est un ensemble totalement ordonné ayant un plus petit et un plus grand élément et, dans ce cas, c'est un ensemble ordonné dans lequel toute partie est bornée. Enfin il est muni d'une topologie \og\ naturelle \fg\ qui en fait un compactifié de $\R$ homéomorphe à n'importe quel segment de celui-ci. Dans ce sens, toute suite de nombres réels y admet un point d'accumulation et là nous rejoignons ce qu'a écrit ev.

Bruno

Non, on ne peut pas définir une structure algébrique qui joue bien, en tout cas pas partout. Par exemple, \(\infty-\infty\) n'est pas bien défini.

En effet, soit \((u)\) et \((v)\) deux suites qui tendent respectivement vers \(\infty\) et \(-\infty\).
Si on pouvait définir une structure algébrique qui jouerait bien, on aurait
\[\infty-\infty=\lim u_n +\lim v_n=\lim (u_n+v_n).\]

Or la dernière limite peut prendre n'importe quelle valeur. Par exemple, 0 si \(v_n=-u_n\), 1 si \(v_n=-u_n+1\), etc.