endomorphisme, espace vectoriel

florence4 · March 2004

Bonjour, pour une préparation à un concours, j'essaye de résoudre un exercice sur les espace vectoriel. Malheureusement pour moi, je n'ai que de vagues souvenirs de cette partie ! Si vous pouviez me donner quelques petits conseils, ce serait avec grand plaisir. Merci d'avance.

on désigne par E l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée de degré inférieur ou égal à 2 sur le corps des nombres réels. Pour tout élément P de E, on pose : f(P) = (X² - 1)P' - 2XP

1) Montrer que, pour tout élément P de E, f(P) appartient à E.
2) Indiquer la matrice de l'endomorphisme f dans la base (1,X,X²) de E.
3) Déterminer les valeurs propres de f; donner une base de E constituée de vecteurs propres de f.

Pour le 1, j'ai montré que f était linéaire par f(P + $\lambda$Q) = f(P) + $\lambda$f(Q). Mais je ne sais pas si c'est suffisant pour répoudre à la question !

Pour le 2, alors là je nage complètement. Je n'arrive pas du tout à voir comment on peut faire. Si vous pouviez m'expliquer ça serait très aimable.

Pour le 3, je pense qu'il faut chercher det(A - $\lambda$I) puis factoriser et l'on doit avoir les valeurs propres, où A est la matrice trouver dans le 2. Par contre pour retrouver les vecteurs propres de f, je ne sais plus comment il faut faire...

Merci d'essayer de m'aider.
Coordialement

N. · March 2004

Bonjour, pour le 1), tu prends un polynome $P$ quelconque de ton espace, c'est-à-dire, $P=aX^2+bX+c$. Tu calcules formellement $P'$ qui est de degré au plus 1 ($P'=2aX+b$), puis tu écris $f(P)$ et en développant l'expression, tu t'aperçois que le résultat est de degré au plus 2, c'est-à-dire que $f(P) appartient à $E$.

Pour le 2), il faut que tu calcules l'image des vecteurs de ta base et que tu les exprimes en fonction de cette base. Tu calcules donc $f(1)$ (ça vaut $-2X$), puis $f(X)$ et $f(X^2)$. Il ne reste qu'à écrire la matrice. Par exemple, tu as trouvé que $f(1)= 0*1+(-2)*X+0*X^2$, la première colonne de ta matrice sera donc
\[\left(\begin{array}{c} 0\\-2\\0 \end{array}\right)\]

Pour le 3), tu calcules effectivement les valeurs propres comme tu dis, puis pour chaque valeur propre $\lambda$, tu résout le système $A(x,y,z)=\lambda(x,y,z)$, les solutions sont les vecteurs propres. Tu donnes une base des solutions de chacun de ces systèmes, tu réunis ces bases, et tu vérifies que c'est une base de $E$ ($E$ étant de dimension 3, il te suffit de montrer que tu as 3 vecteurs libres). (Si c'est bien le cas, ça signifie que dans cette base, ta matrice est diagonale).

N. · March 2004

Bonjour, pour le 1), tu prends un polynome $P$ quelconque de ton espace, c'est-à-dire, $P=aX^2+bX+c$. Tu calcules formellement $P'$ qui est de degré au plus 1 ($P'=2aX+b$), puis tu écris $f(P)$ et en développant l'expression, tu t'aperçois que le résultat est de degré au plus 2, c'est-à-dire que $f(P)$ appartient à $E$.\\
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Pour le 2), il faut que tu calcules l'image des vecteurs de ta base et que tu les exprimes en fonction de cette base. Tu calcules donc $f(1)$ (ça vaut $-2X$), puis $f(X)$ et $f(X^2)$. Il ne reste qu'à écrire la matrice. Par exemple, tu as trouvé que $f(1)= 0*1+(-2)*X+0*X^2$, la première colonne de ta matrice sera donc\\
\[\left(\begin{array}{c} 0\\-2\\0 \end{array}\right)\]\\
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Pour le 3), tu calcules effectivement les valeurs propres comme tu
dis, puis pour chaque valeur propre $\lambda$, tu résout le
système $A(x,y,z)=\lambda(x,y,z)$, les solutions sont les vecteurs
propres. Tu donnes une base des solutions de chacun de ces
systèmes, tu réunis ces bases, et tu vérifies que c'est une base
de $E$ ($E$ étant de dimension 3, il te suffit de montrer que tu
as 3 vecteurs libres). (Si c'est bien le cas, ça signifie que dans
cette base

N. · March 2004

Bonjour, pour le 1), tu prends un polynome $P$ quelconque de ton espace, c'est-à-dire, $P=aX^2+bX+c$. Tu calcules formellement $P'$ qui est de degré au plus 1 ($P'=2aX+b$), puis tu écris $f(P)$ et en développant l'expression, tu t'aperçois que le résultat est de degré au plus 2, c'est-à-dire que $f(P)$ appartient à $E$.\\
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Pour le 2), il faut que tu calcules l'image des vecteurs de ta base et que tu les exprimes en fonction de cette base. Tu calcules donc $f(1)$ (ça vaut $-2X$), puis $f(X)$ et $f(X^2)$. Il ne reste qu'à écrire la matrice. Par exemple, tu as trouvé que $f(1)= 0*1+(-2)*X+0*X^2$, la première colonne de ta matrice sera donc\\
\[\left(\begin{array}{c} 0\\-2\\0 \end{array}\right)\]\\
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Pour le 3), tu calcules effectivement les valeurs propres comme tu
dis, puis pour chaque valeur propre $\lambda$, tu résout le
système $A(x,y,z)=\lambda(x,y,z)$, les solutions sont les vecteurs
propres. Tu donnes une base des solutions de chacun de ces
systèmes, tu réunis ces bases, et tu vérifies que c'est une base
de $E$ ($E$ étant de dimension 3, il te suffit de montrer que tu
as 3 vecteurs libres). (Si c'est bien le cas, ça signifie que dans
cette base ta matrice est diagonale).

florence4 · March 2004

Merci beucoup pour l'aide, j'ai enfin compris...

le seul petit souccis vient du fait que je trouve pour la matrice de l'endomorphisme
1er vecteur 0 -2 0
2eme vecteur -1 0 -1
3eme vecteur 0 -2 0

ce qui (d'après moi ) veut dire que la valeur propre serait 0.

Donc après, je résoud (A - I)$\times$(x y z)=(0 0 0), ce qui me donnera x=0, y=0 et z=0.
La base E sera donc formée des vecteurs propres nuls....
C'est pas très logique ça ?

Merci encore de m'éclairer

N. · March 2004

OK pour ta matrice.

Pour les vecteurs propres, il faut résoudre $A(x,y,z)=\lambda(x,y,z)$ ou encore (c'est exactement la même chose) $(A-\lambda I)(x,y,z)=(0,0,0)$, où $\lambda$ est valeur propre.
De toutes façons, c'est un système linéaire homogène (quel que soit $\lambda$), donc tu as \underline{toujours} la solution $(0,0,0)$. Dire que $\lambda$ est valeur propre, c'est dire qu'il y a d'autres solutions ($\lambda$ est valeur propre si il existe des vecteurs propres ; c'est le sens des définitions).

De plus, quand tu dis \underline{la} valeur propre serait 0, a priori il y a plusieurs valeurs propres. Quand tu développe ton déterminant de $A-\lambda I$ (considère ici un $\lambda$ inconnu formel, tu obtiens un polynome en $\lambda$ ; les racines de ce polynome sont les valeurs propres.

Sur ton exemple, je trouve comme déterminant (polynome caractéristique) :
$\lambda(\lambda-2)(\lambda+2)$, ce qui donne comme valeurs propres $0,-2,2$.

Le calcul que tu as fait, (en pensant à la valeur propre 0), correspond en fait à la valeur propre 1 " (A - I)(x y z)=(0 0 0)", or ce n'est pas une valeur propre, ce qui explique que tu ne trouves que la solution (0,0,0).

florence4 · March 2004

merci beaucoup... ça va mieux, j'ai retrouvé les erreurs que j'avais fait.
ce forum est très sympatique et très utile. merci à tous

Lamouette des maths · October 2011

Pourriez vous indiquer les espaces propres svp?

ev · October 2011

Au fond du couloir à droite.

e.v.

egoroffski · October 2011

Génial ev

-D

endomorphisme, espace vectoriel

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