éternité
J'aurais pu mettre cet exercice dans "il est facile de" mais, je pense qu'un fil pour lui seul est pas mal non plus.
Il ne s'agit pas d'une question dont je ne connais pas la réponse, mais d'un théorème que je me suis amusé à inventer il y a au moins 10-15ans, quand je cherchais à prouver que ZFC est contradictoire. A l'époque, je cherchais des énoncés prouvables qui fassent sortir du cadre "crédible" les théorèmes de ZF, ie des trucs qui quand on les voit on se dit que par nature ça devrait pas être possible. Bien sûr, ce sont des apparences, mais bon...
Celui-ci est du type: truc local + infini => truc global + cofini, donc n'est pas crédible et pourtant vrai. J'en ai peut-être déjà parlé en donnant les noms historiques, mais là, je maintiens le mystère.
Soit (E,F,R) un triplet où $R\subseteq E\times F)$
On dit que R est éternel quand il a la propriété suivante:
Pour toute suite d'application, $f_n$ où $f_n$ va de $F$ dans $E$:
il existe une suite $u$ d'éléments de $F$ telle que pour tout $n\in \N$:
$f(u(n+1)) R u(n)$
Le mot "éternel" vient de ce qu'on ne peut pas "utiliser" R comme "téléphone" avec quelque stratégie que ce soit pour prouver que le passé n'est pas éternel, en considérant que la date n+1 est la veille de la date n et que R représente ce qui est mémorisé de la veille. Par exemple, la relation "=" serait "tout est mémorisé, et bien sûr, (lemme de Koenig), (E,E,=) est éternel si et seulement si E est fini.
On dit que R est "débile" quand $\exists x\in E\forall y\in F: non(xRy)$
Maintenant au lieu de mettre bout à bout une même relation R, on se donne une suite quelconque de triplets $(E_n,F_n,R_n)$ non débiles et on suppose qu'il existe une suite de fonctions $f_n$ allant chacune de $F_{n+1}$ dans $E_n$ et telles qu'il n'existe pas de suite $u$ telle que pour tout entier n: $f(u_{n+1}) R_n u_n$
A priori, on pourrait se dire qu'il y a une infinité de $R_n$ qui sont pas éternelles, mais, comme ça, quand on regarde, elles diffèrent les unes des autres, etc, donc deja c'est pas gagné...
Et bien, exercice:
démontrer qu'il existe un entier p tel que $\forall n\in \N: n>p$=>$R_n$ n'est pas éternelle.
C'est marrant parce qu'on a un truc "local" (chaque maillon est empéché d'être éternel à partir d'un certain rang) qui "parle" non seulement de quelque chose de global, mais en plus qui rejaillit sur les autres maillons qui n'ont rien à voir, mais en plus rejaillit sur TOUS (sauf un autre fini).
En espérant que JLT va nous expédier ça en moins de 2
...
Il ne s'agit pas d'une question dont je ne connais pas la réponse, mais d'un théorème que je me suis amusé à inventer il y a au moins 10-15ans, quand je cherchais à prouver que ZFC est contradictoire. A l'époque, je cherchais des énoncés prouvables qui fassent sortir du cadre "crédible" les théorèmes de ZF, ie des trucs qui quand on les voit on se dit que par nature ça devrait pas être possible. Bien sûr, ce sont des apparences, mais bon...
Celui-ci est du type: truc local + infini => truc global + cofini, donc n'est pas crédible et pourtant vrai. J'en ai peut-être déjà parlé en donnant les noms historiques, mais là, je maintiens le mystère.
Soit (E,F,R) un triplet où $R\subseteq E\times F)$
On dit que R est éternel quand il a la propriété suivante:
Pour toute suite d'application, $f_n$ où $f_n$ va de $F$ dans $E$:
il existe une suite $u$ d'éléments de $F$ telle que pour tout $n\in \N$:
$f(u(n+1)) R u(n)$
Le mot "éternel" vient de ce qu'on ne peut pas "utiliser" R comme "téléphone" avec quelque stratégie que ce soit pour prouver que le passé n'est pas éternel, en considérant que la date n+1 est la veille de la date n et que R représente ce qui est mémorisé de la veille. Par exemple, la relation "=" serait "tout est mémorisé, et bien sûr, (lemme de Koenig), (E,E,=) est éternel si et seulement si E est fini.
On dit que R est "débile" quand $\exists x\in E\forall y\in F: non(xRy)$
Maintenant au lieu de mettre bout à bout une même relation R, on se donne une suite quelconque de triplets $(E_n,F_n,R_n)$ non débiles et on suppose qu'il existe une suite de fonctions $f_n$ allant chacune de $F_{n+1}$ dans $E_n$ et telles qu'il n'existe pas de suite $u$ telle que pour tout entier n: $f(u_{n+1}) R_n u_n$
A priori, on pourrait se dire qu'il y a une infinité de $R_n$ qui sont pas éternelles, mais, comme ça, quand on regarde, elles diffèrent les unes des autres, etc, donc deja c'est pas gagné...
Et bien, exercice:
démontrer qu'il existe un entier p tel que $\forall n\in \N: n>p$=>$R_n$ n'est pas éternelle.
C'est marrant parce qu'on a un truc "local" (chaque maillon est empéché d'être éternel à partir d'un certain rang) qui "parle" non seulement de quelque chose de global, mais en plus qui rejaillit sur les autres maillons qui n'ont rien à voir, mais en plus rejaillit sur TOUS (sauf un autre fini).
En espérant que JLT va nous expédier ça en moins de 2
... Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Pour détailler un peu plus sur la notion d'éternité, je prends un autre exemple:
si on avait des horloges capables d'afficher les vrais entiers et bloquées pour augmenter de 1 chaque jour qui passe, il suffirait de lire le cadran pour savoir que le passé n'est pas éternelAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Question subsidiaire: existe-t-il des machines réalistes (même de SF) ou des énoncés qui in some sense permettraient de prouver que le FUTUR n'est pas éternel?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Ca conduit à une conjecture et en inspire une autre:
conjecture1: soit $E$ un ensemble et $T$ un ensemble toatalement ordonné pour l'incusion de $R\subseteq E\times E$ telles que $(E,E,R)$ est éternel.
Alice et Bob jouent au jeu suivant:
Bob joue $R_1\in T$, Alice joue $u_1\in E$, puis Bob joue $R_2\in T$ puis Alice joue $u_2\in E$, etc, etc.
Alice perd si à un moment donné, $non(u_{n+1}R_n u_n$, sinon, elle gagne (si elle résiste éternellement )
Prouver qu'Alice a une stratégie gagnante à ce jeu.
Conjecture2: On note $T:=\C^n$ et $Z$ un ensemble d' applications polynomiales allant de $T$ dans $T$ tel que deux quelconques de ses éléments ont des images comparables pour l'inclusion (l'un est incluse dans l'autre)
C'est un corollaire presque classique du théorème des zéros (version "tout système dénombrable blabla") que pour toute suite de $f_n\in Z$ il existe une suites de $t_n\in T$ tel que pour tout entier $t_n=f_n(t_{n+1})$
Maintenant:
Alice et Bob jouent au jeu suivant:
Bob joue $f_1\in Z$, Alice joue $t_1\in T$, puis Bob joue $f_2\in Z$ puis Alice joue $t_2\in T$, etc, etc.
Alice perd si à un moment $t_n\neq f_n(t_{n+1})$, sinon, elle gagne.
Alice a-t-elle forcément une stratégie gagnante? J'ai vaguement l'impression que j'ai déjà posé cette question sur le forum et que la discussion qui a suivi a fourni une réponse, mais je n'en suis plus très sûr, ça m'agaceAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
bonjour
notre ami Christophe prépare son discours à l'Académie française
lorsqu'il sera admis parmi les Immortels!
cordialement -
Tu rigoles, je suis entrain d'essayer de collecter les 500 signatures, le pays a besoin qu'on le sauve, non?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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