solution de x(s) + tan(s x(s)) = 0

maxb0 · April 2004

Quelqu'un connait-il une approximation de la solution $x(s)$ de cette équation :

$x(s) + tan(s x(s)) = 0$

Merci d'avance

JJ0 · April 2004

Bonjour,

La question est ambigue. En effet, lorsqu'on demande une approximation d'une fonction, il faut nécessairement indiquer autour de quel point on veut cette approximation.
La question devrait donc être formulée ainsi :
"Trouver une approximation de x(s) au voisinage de s= ??? "
Selon le point choisi, la formule approchée sera différente.

maxb0 · April 2004

J'aimerais obtenir une approximation $y(s)$ de toute la fonction $x(s)$ solution de l'équation en question pour tout $s>0$.

Et c'est bien là le problème....

Mais si il existe des approximations non triviales en $s=0$, $s=+\infty$ ou tout autre point $s>0$, je suis preneur...

Merci.

GERARD5 · April 2004

x(0)=0
x(1) a une infinité de valeurs possibles (l'équation x=tan(x) a une solution sur tout intervalle de longueur Pi où tan(x) existe.
x(s)=0 est une solution pour tout s.

maxb0 · April 2004

Ok mais ces solutions sont triviales. Je cherche une fonctionde $s$ continue !

Olivier1 · April 2004

Bonjour,

Mais a priori il n'y a pas unicité de la solution $x(s)$, si ?

Olivier.

Olivier1 · April 2004

D'ailleurs, même pour l'existence...

JJ0 · April 2004

Comme cela découle des messages précédents, il me semble qu'on n'espère pas une formule unique pour exprimer (s) en fonction de (x), mais des formules diverses, selon les régions et les choix parmis les solutions multiples.
Néanmoins, au voisinage d'un point, on peut développer s(x) en série (bien que cela devienne rapidement ardu).
Un exemple est donné dans le document joint : 927

maxb0 · April 2004

Effectivement, il y a une infinité de solution spuisque la tangente est périodique de période $\pi$.

Je n'ai pas été clair en posant le problème... donc j'apporte quelques précisions supplémentaires :

- Je ne m'intéresse pas à la solution triviale.
- A $s>0$ fixé, je cherche $x$ tel que $x + tan(s \, x) = 0$
$\rightarrow$ il y a une infinité de solutions, je m'intéresse uniquement à la solution $x \geq 0$ qui se trouve dans l'intervalle $]\frac{\pi}{2\alpha},\frac{3 \pi}{2\alpha}[$.
Dans cet intervalle, la solution existe et est unique.

en cherchant cette solution pour tout $\alpha > 0$ avec matlab par exemple, on obtient une fonction $x(s)$ et c'est cette fonction dont je cherche une approximation...

Rq : on peut faire un changement de variable et regarder ce qui se passe avec l'équation : $\frac{x}{s} + tan(x) = 0 $, on cherchera la solution dans l'intervalle $]\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2}[$...

Merci d'avance

JJ0 · April 2004

La figure jointe, qui représente la fonction s(x), illustre bien la multiplicité des fonctions approchées possibles.
On a représenté les courbes représentratives des séries d'ordre 1 et d'ordre 2 , au voisinage du point (s=3pi/4 , x=-1).
Il est clair que ce genre de fonction se prète particulièrement mal à des approximations de ce genre : il faudrait un grand nombre de termes dans la série pour avoir une bonne approximation sur une large plage de la variable (s), donc une formule très compliquée.
Bien entendu, il peut y avoir d'autres façons, plus efficaces, pour aborder le problème.

JJ0 · April 2004

:

JJ0 · April 2004

Il y a un peu de pagaille et la figure ne veut pas passer.
Je recommence :

La figure jointe, qui représente la fonction s(x), illustre bien la multiplicité des fonctions approchées possibles.
On a représenté les courbes représentratives des séries d'ordre 1 et d'ordre 2 , au voisinage du point (s=3pi/4 , x=-1).
Il est clair que ce genre de fonction se prète particulièrement mal à des approximations de ce genre : il faudrait un grand nombre de termes dans la série pour avoir une bonne approximation sur une large plage de la variable (s), donc une formule très compliquée.
Bien entendu, il peut y avoir d'autres façons, plus efficaces, pour aborder le problème. 929

JJ0 · April 2004

Alors, ca c'est marrant : la figure est dédoublée.
C'est très artistique, mais on n'y comprends plus grand chose.
Tant pis, restons en là !

Cauchy0 · April 2004

utilise l'algoritm de Newton<BR>

maxb0 · April 2004

Je vous propose quelque chose :
En fait, j'ai trouvé une approximation de ce que je cherche, mais je n'arrive pas à montré pourquoi elle est "proche" de la fonction $x(s)$...

Regardez la fonction $Y(s) = \frac{\pi}{s+ log(2-e^{-s})}$.

Cette fonction n'est pas solution de l'équation $ x(s) + tan (s x(s)) = 0$, mais elle est trés proche de $x(s)$. Soit c'est une pure coincidence (mais je n'y croit pas trop, soit quelque chose la lie à la vrai solution et je n'arrive pas à le montrer... Je joins une courbe sur laquelle on voit la solution proposée par matlab et cette fonction...

maxb0 · April 2004

Je vous propose quelque chose :
En fait, j'ai trouvé une approximation de ce que je cherche, mais je n'arrive pas à montré pourquoi elle est "proche" de la fonction $x(s)$...

Regardez la fonction $Y(s) = \frac{\pi}{\displaystyle s+ \log(2-e^{-s})}$.

Cette fonction n'est pas solution de l'équation $ x(s) + \tan (s x(s)) = 0$, mais elle est trés proche de $x(s)$. Soit c'est une pure coincidence (mais je n'y croit pas trop), soit quelque chose la lie à la vrai solution et je n'arrive pas à le montrer...
Je joins une courbe sur laquelle on voit la solution proposée par matlab et cette fonction...

maxb0 · April 2004

Désolé pour les petits problème : nouvel essai...

maxb0 · April 2004

Désolé pour les petits problème : nouvel essai...

changez l'extention en ".esp" à la place de ".ps"

JJ0 · April 2004

Bonjour,

voici une formule qui donne une assez bonne approximation sur une large étendue de la variable s. Elle a été obtenue par développement en série d'ordre 3 de 1/x(s) :
(figure jointe) 933

maxb0 · April 2004

Pour JJ :

Effectivement, votre approximation est bonne, mais au voisinage de $\frac{3\pi}{4}$ non ?

En revanche, ailleurs, on ne peut pas se contenter cette approximation...

Que pensez-vous de mon approximation ?...

GERARD5 · April 2004

J'ai regardé ce que donne Maple : Pour certaines valeurs de s, entre 0 et 2, la valeur de y(s)+tan(sy(s)) devient extrèmement grande. Au fait, sur quel domaine de valeurs de s travailles-tu ?

maxb0 · April 2004

Pour Gérard :
En effet, les valeurs $y(s)+\tan(sy(s))$ sont de moins en moins proches de zéro quand $s\rightarrow 0$, ce qui parait "normal"
Quand $s\rightarrow 0$ mais $s \neq 0 $ la solution tend vers $+\infty$. Il suffit de faire le test avec $s = 10^{-3}$ par exemple, déterminer la solution numérique $ \tilde x$. Et bien si on rajoute $\varepsilon$ à $\tilde x$ la valeur de $(\tilde x+varepsilon) +\tan(s (\tilde x+ varepsilon))$ est déjà trés différente de $0$.

En fait pour répondre à ta question je m'intéresse à cette fonction pour tout $s>0$, mais si je trouve une justification pour $s>1$ par exemple, je m'en contenterai !...

Merci

JJ0 · April 2004

Bonjour,
La figure jointe permet de comparer les résultats des approximations :
- La formule de "maxb" est excellente pour les faibles valeurs de s car elle tend asymptotiquement vers x(s)=pi/2s qui est la fonction exacte au voisinage de s=0. Elle est aussi excellente pour les grandes valeurs de s car elle tend asymptotiquement vers x(s)=pi/s qui est la fonction exacte au voisinage de s =+infini.
- La formule obtenue par développement en série d'ordre trois donne de meilleures approximations que la précédente pour des valeurs intermédiaires de s : elle est préférable dans la région 0,8 < s < 6 ( ceci à vue d'oeil : des vérifications plus poussées seraient nécessaires pour mieux la délimiter ).
Je pense qu'il doit être possible de trouver des formules encore meilleures que ces deux formules.

JJ0 · April 2004

:

JJ0 · April 2004

Les résultats précédents viennent de m'inspirer une formule nettement améliorée par rapport aux deux précédentes : elle donne de bonnes approximations pour toutes les valeurs de s positives. Et, ce qui ne gâte rien, elle est remarquablement simple. Dans cette formule, le paramètre (c) a été ajusté empiriquement : 935

JJ0 · April 2004

En fait, on peut prendre c = 8/(3pi) = 0,848826...
ce qui fait passer la courbe exactement par le point (s=3pi/4; x=1)
La valeur ajustée empiriquement était si proche que les résultats restent très voisins.

JJ0 · April 2004

Bonjour,

la figure jointe montre l'écart entre x(s) exact et x(s) donné par les formules d'approximation.
Il serait certainement possible de faire encore mieux en ajoutant des termes correctifs aux formules. Pour ma part, je vais en rester là.

JJ0 · April 2004

?

maxb0 · April 2004

Bonjour JJ,

je ne vois rien d'autre à faire qu'à te remercier pour le temps que tu as passé sur ce problème et pour la solution que tu m'apportes, j'aurais juste une dernière question à te poser : comment as tu fait pour aboutir à cette formule ? Approximation polynomiale d'ordre 1, ou autre point de vue ?

Merci.

Julien.

JJ0 · April 2004

Bonjour,

pour répondre à ta question sur la méthode :
- d'abord j'ai travaillé sur le développement en série autour d'un point dans la région souhaitée : le résultat était relativement bon, mais seulement sur un domaine limité. Elargir le domaine en poussant le développement plus loin aurait conduit à des formules trop compliquées.
- Ensuite, j'ai essayé une autre approche : Ajuster la formule au voisinage de s=0 d'un coté et pour s grand de l'autre.
Pour cela, il fallait que la fonction soit (au premier ordre) équivalente à pi/2s pour s petit et équivalente à pi/s pour s grand. (ces équivalents se calculent à partir de l'équation x+tan(sx)=0)
Il fallait donc que x(s) = (pi/s).f(s) avec une fonction f(s) tendant vers 1/2 pour s tendant vers 0 et f(s) tendant vers 1 pour s tendant vers +infini.
Une fonction du genre hyperbole : f(s) = (1+c.s)/(2+c.s) convenait donc.
Ensuite, le paramètre (c) est ajusté "au mieux" pour avoir des déviations aussi faibles que possibles dans la région intermédiaire.
- Il serait certainement possible de faire mieux en cherchant une fonction f(s) un peu plus sophistiquée et satisfaisant évidemment aux mêmes conditions aux limites (par exemple f(s) pourrait être le rapport de deux polynomes de même degré).
Néanmoins, je reconnais que c'est une méthode semi-empirique pas très élégante.

maxb0 · April 2004

Merci "JJ", et merci aux autres lecteurs du problème...

JJ0 · April 2004

Encore un petit effort :
si on passe aux développements asymptotiques du second ordre :
pour s tendant vers 0, x(s) = (pi/2s)+2/pi+o(s)
pour s tendant vers +infini, x(s) = (pi/s)-(pi/s²)+o(1/s^3)
et avec une fonction approchée de la forme :
x(s) = (pi/s)(1 +a.s +c.s²)/(2 +b.s +c.s²)
a = 1+(8/pi²)
b = 2+(8/pi²)
c = 8/(3pi)
pour tout s de 0 à +infini, la valeur absolue de l'écart entre x(s) exact et x(s) calculé par cette formule est inférieur à 0,005.

JJ0 · April 2004

Il y avait une erreur dans les formules précédentes donnant les paramètres a, b et c.
(en effet, la valeur de (c) dans la formule d'ordre 2 n'est pas la même que celle de la formule d'ordre 1). Après correction :
x(s) = (pi/s)(1 +a.s +c.s²)/(2 +b.s +c.s²)
c =0,0824.. (empirique, la formule explicite est trop compliquée)
a = c+(8/pi²)
b = 2c+(8/pi²)
Pour tout s de 0 à +infini, la valeur absolue de l'écart entre x(s) exact et x(s) calculé par cette formule est inférieur à 0,002 (voir la figure jointe) 947

maxb0 · April 2004

Merci pour ce dernier effort "JJ",
Si on souhaite faire passer la courbe par $(1,3\frac \pi 4)$, l'expression de $c$ est légèrement différente et la valeur absolue de l'erreur est aussi différente, mais on a une expression simple de $c$ :
$$ c = \frac{4}{\pi} \left(\frac{ \frac{1}{\pi} - \frac{1}{3}}{1 - \frac{3\pi}{8}} \right) $$
Merci.