Droite ou gauche, encor
Bonne nuit,
A-t-on le droit ou non d'écrire les quantificateurs à droite d'une proposition ? Par exemple d'écrire l'associativité d'un groupe:
$$a(bc) = (ab)c~~~\forall a,b,c \in G$$
C'est déjà mieux que ceux qui ne les écrivent pas du tout, d'accord.
Je précise qu'il s'agit du cas d'une rédaction soignée (article, livre, ...).
Si aucune proposition mathématique complète n'est écrite par ailleurs, et si les quantificateurs sont toujours utilisés comme abréviations, c'est cohérent. Mais quand les deux situations cohabitent ça craint un peu.
Les logiciens disent tous (ceux que j'ai lus) que c'est "idiot" de mettre les quantificateurs à droite. C'est pas faux.
Bref, que vous en semble ?
Bien cordialement.
Nota: je sais que $\forall a,b,c \in G$ n'est pas correct, mais je trouve que $\forall (a,b,c) \in G^3$
ou bien $\forall a \in G,~~\forall b \in G,~~\forall c \in G$ sont lourdingues.
Re Nota. Les bourbakistes diront qu'il n'y a pas à mettre de quantificateurs du tout, après avoir écrit un livre à leur sujet. Logique !
A-t-on le droit ou non d'écrire les quantificateurs à droite d'une proposition ? Par exemple d'écrire l'associativité d'un groupe:
$$a(bc) = (ab)c~~~\forall a,b,c \in G$$
C'est déjà mieux que ceux qui ne les écrivent pas du tout, d'accord.
Je précise qu'il s'agit du cas d'une rédaction soignée (article, livre, ...).
Si aucune proposition mathématique complète n'est écrite par ailleurs, et si les quantificateurs sont toujours utilisés comme abréviations, c'est cohérent. Mais quand les deux situations cohabitent ça craint un peu.
Les logiciens disent tous (ceux que j'ai lus) que c'est "idiot" de mettre les quantificateurs à droite. C'est pas faux.
Bref, que vous en semble ?
Bien cordialement.
Nota: je sais que $\forall a,b,c \in G$ n'est pas correct, mais je trouve que $\forall (a,b,c) \in G^3$
ou bien $\forall a \in G,~~\forall b \in G,~~\forall c \in G$ sont lourdingues.
Re Nota. Les bourbakistes diront qu'il n'y a pas à mettre de quantificateurs du tout, après avoir écrit un livre à leur sujet. Logique !
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Réponses
De même pour les quantificateurs à droite. Je pense qu'avec un avertissement que dans ce contexte ce sont des abréviations cela n'est pas si grave.
Personnellement je milite plutôt pour les quantificateurs à gauche, mais il faut être réaliste. N'importe quel texte de mathématique — hors logique (et encore) — est truffé de tels abus de langage qui, s'ils sont bien utilisés, facilitent la lecture.
Par exemple, pour la définition d'un morphisme de groupe \(f\colon G\to H\) on devrait écrire \(f(1_G)=1_H\) etc.
Et je ne parle pas de la gestion des parenthèses.
P.S. Peux-tu expliciter l'histoire des bourbakistes qui n'utilisent pas les quantificateurs ? Tu veux dire qu'ils ne les utilisent pas comme abréviation ?
d'utiliser ce genre de notation condensée pour moi. Quand j' écris pour être lu par d'autres j’évite
de mettre a droite les quantificateurs et souvent j’écris en toutes lettres plutôt qu'avec des quantificateurs
(du style: "pour tout $a$, $b$ et $c$ dans $G$").
eric
Contrairement à Eric, sur mes brouillons, je note "qq" ou "ile" car je ne formalise pas. Ensuite, C. de Pluquaire, tu vois bien que c'est toujours une histoire d'opération à gauche ou à droite. Un quantificateur transforme une formule en une autre possédant une variable libre de moins ; mais ils sont habituellement considérés comme des opérateurs à gauche ce qui est important car ils sont loin de commuter, c'est toute l'histoire de l'uniformité qui est derrière cette remarque.
Pour résumer ma position ; en soi il est de peu d'importance comment tu les écris mais l'habitude vient depuis longtemps de les écrire en opérateurs à gauche ; autrement dit il me semble important de bien annoncer la couleur des commutations. Ce qui ne doit pas être négligé.
Bruno
je ne me prononce pas trop sur la question des $\forall x,y,..$ plutôt que $\forall x\forall y...$. C'est quand-même rarement ambigu.
Par contre, je peux témoigner (sans même être logicien) que les quantifications à droite sont parfois dangereuses concretement, il m'est souvent arrivé d'abandonner une lecture (remise à plus tard donc abandon, chez moi), parce que face à:
"il existe u,v... tels que blablabla $\forall a,b,..$
dont je n'arrivais pas à savoir rapidement si le gars avait voulu dire $\exists ,u,v...\forall a,b,.. blablabla$ ou plutôt $\forall a,b,..\exists x,y,..blablabla$
Je ne parle même pas des gens (là je cesse immédiatement de lire) qui écrivent $E:=\{x/ ..... a,b\in F\}$ qui veulent sous-entendre j'ai l'impression, dans 70 pourcents des cas $E:=\{x/ \forall a,b\in F: (.....) \}$, alors que dans les 30 autres pourcents, ce serait plutôt ou bien $E_{a,b,...}:=\{x/ ..... \}$ ou bien $E:=\{x/ \exists a,b\in F: (.....) \}$
C'est plutôt un témopignage spontané de souvenirs agacés sincèrement qu'un avis "censeur" de logicien
Merci pour toutes ces réponses: en gros, on peut être indulgent si le texte reste clair.
Bien sûr, à droite uniquement des quant. universels.
Bien sûr aussi, on peut imposer une notation à condition de la poser dès le début (mais si tout le monde en fait autant ...).
@ Matsaya: à part dans son premier volume (Th. de Ens.), Bourbaki n'utilise jamais les quantificateurs, il écrit "pour tout" ou "il existe", en toutes lettres.
Autre sujet: je pense à un livre qui commence par: "Soit F: E ---> E" (authentique). Rien de faux, certes, mais envie de lire un autre livre.
Bien cordialement.