union dénombrable d'ensembles dénombrables

Bonjour,

on ne peut pas se passer d'un axiome de choix. Le document devrait répondre à tes interrogations.

@l

Salut à toi et Merci @I.

à noter que ton document est vraiment formidable c'est un fascicule de très nombreux résultats d'indépendance, et j'en serais presque à recommander au site lesmathspointnet de mettre un lien en page d'accueil vers ce document pour parer aux futures questions!!!

Je crois que je l'avais déjà fait, je rappelle une preuve du fait que l'axiome (le pdf a l'air de l'appeler "des multiples choix") entraine l'axiome du choix.

On prend un ordinal quelconque (qui a vocation, en suite à être suffisamment grand), $k$ et on se donne une application $Z$ qui à chaque partie non vide de $V_k$ associe une de ses parties finies non vides.

Puis on définit par récurrence ordinale $u_a$ de la manière suivante, jusqu'à plus possible:

Si le plus petit $b$ *** tel qu'il existe une partie A de l'ensemble des $u_c$, pour $c\in b$ est un élément de $a$ (ie lui est strictement inférieur), alors on regarde l'ensemble $T(a)$ des $u_c, c\in b$. Puis on regarde $W(a):=$ l'ensemble des parties X de $T(a)$, par définition, non vide, telles que $\forall x\in a: u_x\neq X$. Puis on regarde l'ensemble fini $F(a):=Z(W(a))$ s'il existe, ie si $W(a)$ est dans le domaine de Z. Il y a un ordre lexicographique naturel sur $P(T(a))$ puisque $T(a)$ est bien ordonné. Ce qui permet de choisir canoniquement un élément de $F(a)$ (qui est fini, on prend son plus petit élément selon l'ordre lexicographique) qui devient par définition $u_a$.

Si $b$ défini en *** est $=a$ alors on pose $u_a:=$ l'ensemble des $u_b,b\in a$.

Au moment où ce processus s'arrête, ça veut dire que $W(a)\notin P(V_k)$. C'est alors un exercice de prouver que pour tout ordinal $e$, il existe un ordinal $k$ tel que la fonction $u$ défini ci-dessus a une image qui contient $V_e$ et ce qui bien ordonne $V_e$.

Je ne suis pas vraiment sûr qu'il y ait plus simple...