comment a-t-on cette majoration ?

magel · May 2011

Bonjour
J'essaie de montrer que la suite $\left(\dfrac{1}{n +(-1)^n \sqrt{n}}\right)_{n\geq 2}$ converge vers $0$\\
en utilisant la définition à l'aide $\varepsilon$.
Dans la démonstration il est conseillé d'utiliser le fait que la suite $\left(\dfrac{1}{n +(-1)^n \sqrt{n}}\right)_{n\geq 2}$ est majorée par la suite $\left(\dfrac{1}{n - \sqrt{n}}\right)_{n\geq 2}$ et cette dernière suite vérifie l'inégalité
$0<\dfrac{1}{n - \sqrt{n}}\leq \dfrac{n}{2}$ pour $n\geq4.$
C'est cette dernière inégalité que je ne comprends pas, je n'arrive pas à la retrouver.
Je vous remercie par avance de votre aide.

Erable · May 2011

Pour $n \ge 4$ on a sans doute $\sqrt{n} \le n/2$ et donc ce qui t'intéresse est majoré par $2/n$.

magel · May 2011

En effet \quad $0 <\dfrac{1}{n-\sqrt{n} }\leq \dfrac{2}{n}$\quad pour $n\geq 4$
J'essaie de retrouver cette majoration en partant de l'expression \quad $\dfrac{1}{n-\sqrt{n}}\leq \dfrac{2}{n}$\quad et $n\geq 2$, et là je bloque.

Erable · May 2011

Quelle majoration veux-tu obtenir ?

magel · May 2011

je veux la majoration

$$ \dfrac{1}{n-\sqrt{n}} \leq \dfrac{2}{n} \ \ pour \ \ n \geq 4$$

en partant de $$ \dfrac{1}{n-\sqrt{n}} \ \ pour \ \ n \geq 2$$

Erable · May 2011

Ah. Bon relis tes messages alors parce que tu n'as sans doute pas écrit ce que tu voulais écrire plus haut. Par ailleurs je t'ai donné une solution. Tu peux dire ce que tu ne comprends pas dans cette dernière.

magel · May 2011

Tu as raison, mes messages ne sont pas clairs, il y a des fautes.
Je comprends ta réponse et te remercie de l'intérêt que tu portes à ma question. Mais dans ta réponse tu utilises le résultat final pour justifier que la majoration est correcte, ce que j'aimerais savoir comment on peut arriver, (ou penser) à $\dfrac{2}{n}$

Erable · May 2011

Avec un peu de métier (on doit faire ça en L1 quelque part) on sait que $\sqrt{n}$ est négligeable devant $n$. Et on sait donc que $1/(n-\sqrt{n})$ se comporte essentiellement comme $1/n$. Pour le montrer, on se donne un peu de marge, on se contente de $\sqrt{n} \le n/2$ (le $1/2$ est arbitraire, on aurait pu prendre n'importe quoi dans $]0,1[$) et on essaye de montrer que $1/(n-\sqrt{n})$ est majoré par une constante multiplié par $1/n$. Voilà pour ce qu'il y a derrière.

Pour la preuve, je n'utilise pas le résultat final. J'utilise $\sqrt{n} \le n/2$ pour $n \ge 4$, inégalité que je t'invite à montrer.