Amusettes sur l'infini

bonjour

les séries de Fourier permettent d'illustrer des paradoxes numériques ,
ceux liés à la forme indéterminée infini x zéro

une somme infinie de valeurs nulles (ou de limites nulles) n'est pas forcément nulle ni infinie
la série numérique peut converger vers une constante réelle non-nulle
elle peut diverger vers une constante complexe ou l'infini

soit la série de Fourier: x/2 = sinx - (1/2)sin(2x) + (1/3)sin(3x) - (1/4)sin(4x) +.........lorsque x = pi il vient:

pi/2 = sin(pi) - (1/2)sin(2pi) + (1/3)sin(3pi) - (1/4)sin(4pi) +.......
une somme infinie de valeurs nulles (au second membre) converge vers une limite positive;

de même pour la somme infinie de valeurs nulles (au second membre)
pi/4 = cos(pi/2) - (1/3)cos(3pi/2) + (1/5)cos(5pi/2) - (1/7)cos(7pi/2) +......

soit la série de Fourier: (1/2)lntan(pi/4 + x/2)) = sinx - (1/3)sin(3x) + (1/5)sin(5x) - (1/7)sin(7x) +......pour x = pi il vient:

i(pi/2 + k.pi) = sin(pi) - (1/3)sin(3pi) + (1/5)sin(5pi) - (1/7)sin(7pi) +......
tous les termes sont nuls et la série diverge dans l'ensemble des complexes

soit la série de Fourier (1/2)tan(x/2) = sinx - sin(2x) + sin(3x) - sin(4x) +......
pour x = pi le premier membre tend vers l'infini et le second membre correspond à une infinité de valeurs nulles

cordialement

Je ferai un post sur les paradoxes et autres joyeusetés quand je serai chez moi

1) déjà tu as le lien mis par JLT

2) comme différence entre fini et infini notable et générale il y a le théorème de logique qui dit qu'il existe un programme d'ordinateur capable d'écrire la liste de tous les théorèmes (ie les énoncés vrais dans tous les mondes) alors qu'il n'existe pas de programme capable d'écrire la liste de tous les énoncés vrais dans tous les mondes finis

3) Les ultrafiltres permettent d'approximer l'infini par le fini (donnant lieu à l'analyse non standard comme technique achevée)

4) La théorie des cardinaux (assez sérieuse) regorgent de phénomènes tous plus extravagant les uns que les autres (style métro ci-dessus)

5) Tu as le paradoxe probabiliste de l'enveloppe: on te donne deux enveloppes dont tu as la certitude que l'une contient un chèque 1000 fois plus élevé que le chèque de l'autre. Tu as le droit de n'en ouvrir qu'au plus une avant de choisir laquelle tu emportes (tu ne peux en emporter qu'une). Le paradoxe réside dans le fait qu'une fois que tu en auras ouvert une, tu auras une irrémédiable envie de partir avec l'autre, or ça tu le savais dès le départ donc tu aurais pu en choisir une quelconque sans l'ouvrir

6) Dans un compact $E$ pour toute suite de fonctions continues $f_n$ il existe une suite de $u_n\in E$ telle que $\forall n: u_n=f_n(u_{n+1})$. (C'est une sorte de récurrence à l'envers à mettre en contraste avec la fonction que j'ai décrite dans le fil du lien de JLT)

7) Un que j'aime bien de mon pur cru (dû à une erreur*** et tant mieux pour cette erreur): tu vas dans un casino, jouer une infinité de fois. Les éléments jouables sont des éléments de E un ensemble qu'on suppose bien ordonné. Un raisonnement probabiliste tout bête évoquant l'indépendance des tirages successifs fait que la proba que la suite des tirages $u_n\in E$ soit injective est nulle. Si E est très grand (par exemple si E=IR), on est fasciné par la variable aléatoire "1er n tel qu'il existe un $p<n$ avec $u_p=u_n$. (C'est comme ça que j'ai inventé les ultrafiltres, car c'est facile de prouver que la variable aléatoire $u\mapsto min\{u_n/n\in \N\}$ est tel que sa loi est à image dans la paire $\{0;1\}$ ce qui donne précisément par définition un ultrafiltre. Remarque: je me suis jamais amusé à programmer un tirage aléatoire de piles et faces indicés par $\N^2$ pour voir ce que ca donne. Ie tant que les premiers digits des premiers $u_n$ donne une suite injective continuer d'augmenter n, et sinon, augmenter les tirages des $u(k,i), k\leq n$ sans toucher à n jusqu'à tomber sur une suite $k\leq n\mapto (i\leq p \mapsto u(k,i))$ injective, avant de continuer à augmenter n. Peut-être que Ô surprise, ça finirait (selon le petit raisonnement qui précède) par s'arrêter sur un certain n avec un p qui continuerait éternellement d'augmenter auquel cas ce serait la découverte physique du siècle mais il faudrait un générateur quantique. En tout cas ce serait une manière concrête de voir si la Nature VEUT que IR soit bien ordonné ou non
*** en fait pas vraiment, mais en poussant on obtient tout simplement une contradiction

8) Paradoxe de Banach Tarski (mon paradoxe de BS à moi c'est le (7) )

9) Question: le retournement de la sphère est-il de près ou de loin lié à l'infini ou pouet-on exprimer TOUT ce qu'il contient en substance par un phénomène fini?

Voili voilou, si je pense à d'autres trucs, je complèterai.

J'en rajoute sur Borgès: si on cite souvent la bibliothèque de Babel dans leaquelle l'infini est vraiment le thème principal, il y a pas mal d'autre de ses nouvelles qui aborde ce thème. Il aimait bien les jeux de miroirs, les mises en abymes, les paradoxes, les jeux sur le fond et la forme.

Plus spécifiquement sur l'infini, dans le meme recueil que Babel (Fictions) il y a "le chemin aux sentiers qui bifurquent" par exemple, qui parle d'un labyrinthe infini. Dans son autre grand recueil de nouvelles, l'Aleph, il y a L'immortel, la quete D'averroes, le Zahir, et surtout l'Aleph (deja une reference à l'infini mathématique) qui chez Borges est un objet, ou un point, à partir duquel on peut observer l'univers entier d'un seul coup, ou plutot chaque détail de la totalité de l'univers simultanement. Sensation qui donne evidemment un certain vertige au narrateur

Celles qui ne parlent pas de l'infini sont evidemment tout aussi extraordinaires !

christophe chalons a écrit:

7) Un que j'aime bien de mon pur cru (dû à une erreur*** et tant mieux pour cette erreur): tu vas dans un casino, jouer une infinité de fois. Les éléments jouables sont des éléments de E un ensemble qu'on suppose bien ordonné. Un raisonnement probabiliste tout bête évoquant l'indépendance des tirages successifs fait que la proba que la suite des tirages $ u_n\in E$ soit injective est nulle.

Je ne comprends pas grand' chose. Comment fait-on le tirage? Avec quelle loi de probabilité sur $E$?

Ce qui est rigolo c'est que si je n'avais pas eu cette conversation (avec un plagiste totalement non matheux d'ailleurs, on parlait de casinos et de pognon), je n'aurais fait de maths, jamais "inventé" les ultrafiltres, jamais fait de logique (car les ultrafiltres sont un objet de logicien), jamais même entendu parler de forcing, etc...

Aldo écrivait:

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>
> Par exemple, quel que soit n supérieur ou égal à
> 3, on peut mater avec Roi + Tour contre Roi sur un
> échiquier de côté n mais pas sur un échiquier
> infini.

Je serais curieux de savoir où on place les pièces au début de partie sur un tel échiquier !

Ceci dit j'aime bien l'argument de la diagonale de Cantor de la non-dénombrabilité de l'ensemble des réels.

Bien cordialement
kolotoko

À force de jouer sur la diagonale d'un échiquier infini, Cantor est devenu fou.

amicalement,

e.v.