bijection entre E et P(E)
existe-t-il des ensembles équipotent à l'ensemble de leur parties ?
a priori non car dans le cas fini ca ne marche pas
dans le cas dénombrable non plus
donc a prirori après ca ne marche tjrs pas mais évidement ça n'est pas très valable comme démo lol...
donc si quelqu'un à quelques références sur le sujet
t-mouss
a priori non car dans le cas fini ca ne marche pas
dans le cas dénombrable non plus
donc a prirori après ca ne marche tjrs pas mais évidement ça n'est pas très valable comme démo lol...
donc si quelqu'un à quelques références sur le sujet
t-mouss
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Réponses
C'est un théorème du à Cantor. Aucun en semble n'est en bijection avec l'ensemble de ses parties. Tu trouveras une démonstration dans n'importe quel ouvrage de théorie des ensembles.
Bruno
$\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ c'est l'hypothèse du continu...
Bruno
C'est $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ (cardinal de $\R$).
Y est une partie de E, on peut donc parler de $y=\varphi ^{-1}(Y)$.
On se pose alors la question de savoir si oui ou non $y\in Y$.
Si $y\in Y$, alors $y\in \varphi (y)$, donc $y\notin Y$.
Par ailleurs, si $y\notin Y$, alors $y\in \varphi (y)$, donc $y\in Y$.
On a donc démontré que $y\in Y\Leftrightarrow y\notin Y$, ce qui est évidemment absurde.
\renewcommand{\parties}[1]{\mathcal{P}(#1)}
J'émettrais une double remarque concernant la démonstration présentée par Martial (et apparentée à celle du théorème de Cantor comme le cite Bruno) :
1/ La bijection $\varphi$ considérée comme telle, à savoir de $\parties{E}$ sur $E$ ($\varphi : \parties{E} \rightarrow E $), où $E$ est un ensemble et $\parties{E}$ l'ensemble des parties de $E$, la définition proposée de $Y$ ($ Y = \left\{ x \in E : x \not\in \varphi(x) \right\} $) est inconsistente. En effet on aurait : $ x \in Y \Rightarrow x \in E \Rightarrow \not\vdash \varphi(x) $ car $ x $ ne serait pas d'un ordre compatible avec les éléments de $\parties{E}$, en l'occurrence des parties de E, pour une application de $\varphi$. L'exposé devient consistent en considérant : $\varphi : E \rightarrow \parties{E} $. A noter que la propriété de surjection suffit à $\varphi$ pour la preuve.
2/ Les 3 dernières lignes de la démonstration, à mon avis légèrement confuses, auraient été rédigées comme suit :
1er cas : si $ y \in Y $, alors (par définition de $Y$) $ y \not\in \varphi(y) $, et (par définition de $y$ en $ \varphi(y) = Y $) $ y \not\in Y $, conclusion contradictoire ;
2ème cas : si $ y \not\in Y $, alors (par définition de $y$ en $ \varphi(y) = Y $) $ y \not\in \varphi(y) $, et (par définition de $Y$) $ y \in Y $, conclusion (aussi) contradictoire.
Le principe du tiers exclu sous-tendu, l'hypothèse de l'existence d'une bijection $\varphi$ est ainsi absurde.
En guise de synthèse, aucun ensemble n'est équipotent avec l'ensemble de ses parties. Par contre (mais cela n'a plus grand-chose à voir) $\R$ et $\parties{\N}$, par exemple, sont équipotents.
Cordialement.
En ce qui concerne ta deuxième remarque, j'avais cru comprendre que t-mouss était quelqu'un d'assez fin sur le plan mathématique, et qu'il suffisait de lui donner l'idée pour qu'il puisse de son côté rédiger une preuve complète et "non confuse". D'ailleurs c'est probablement ce qui s'est passé au final.
Enfin, j'aimerais qu'on arrête d'employer à toutes les sauces le mot "inconsistante" (avec un "a", pléhase) quand on ne sait pas ce que ça veut dire.
Et pis d'abord : NHA !
Aurais-je réussi à soulever le courroux de Martial ? :-)
Trève de plaisanterie, j'imagine bien que (presque) tous les lecteurs auront rectifié le texte d'eux-mêmes. Mon intention était "innocemment" d'ajuster ce que d'autres lecteurs "moins avertis" (ils sont peut-être peu nombreux mais sait-on jamais...) auraient pris pour argent comptant sans veiller à une confrontation des points de vue.
Néanmoins, Martial, comme vous l'écrivez, T-Mouss (comme 90 % des intervenants ici probablement) est certainement d'un niveau de connaissances et de réflexion en mathématiques dépassant largement le mien. Je veillerai donc à l'avenir (s'il y en a un) à me souvenir de cette haute considération des lecteurs et participants de ce sympathique forum ;-) .
Enfin, deux petites choses : primo, je rectifie ma caractérisation de définition "inconsistAnce" en "mal formulée" ou encore "non valide" ; secundo, vous auriez dû y aller plus fort encore avec "nha" en m'apostrophant de "nhaz" car N.H.A.Z. sont les initiales de mon nom complet (dont je vous épargnerai ici le développement lol).
Bonne nuit, bon début de semaine et bien amicalement.
Nathan Hédouard Armand de Zarasky?
pour "l'altercation entre nha et martial je ne me permettrais pas d'intervenir (surtout qu'à mon humble avis cela n'a aucune gravité et reste tout à fait civilisé )....
sinon je tenais à rectifier l'affirmation de nha :"T-Mouss est certainement d'un niveau de connaissances et de réflexion en mathématiques dépassant largement le mien"... même si ça me flatte énormément, n'étant qu'en maitrîse et n'étant pas une "bête" dans ce domaine je pense que nha se sous-estime bcp..... : )
bon sinon c cool je suis bien satisfait des réponses apportées qui même si un peu trop détaillées comme disait martial lol me conviennent bien évidement....
et hop un petit gravier apporté à la colinne des connaissances qui peut-etre un jour (qui sait) deviendra montagne....
bien amicalement
t-mouss
Ce qui me dérange , c'est que l'on peut douter de la force probante de la démo si Y est vide (les arguments logiques qui s'appiquent à l'ensemble vide peuvent être fallacieux)
Je rédigerais donc ainsi:
Soit y un antécédent de Y .
Si Y est vide , alors y n'appartient pas à phi(y) et donc y appartient à Y par définition de Y . Ainsi Y se retrouve non vide ce qui est contradictoire .
Si Y est non vide , alors je reprends ta rédac .
Amicalement
Serge TASSY
Version dans un sens (le plus souvent édité)
Soit f une application de E dans P(E). Soit G l'ensemble des $x\in E$ tels que $x\in f(x)$=>$0=1$. Soit $a\in E$ tel que $f(a)=G$.
Si $a\in f(a)$ alors si $a\in f(a)$ alors $0=1$.
Donc si $a\in f(a)$ alors $0=1$. Donc $a\in f(a)$ et donc $0=1$ :Dversion de P(E) vers E:
Soit $g$ une application de P(E) dans E.
Soit $G$ l'ensemble des éléments $x$ de $E$ vérifiant "il existe $A\subseteq E$ tel que $(g(A)=x)$ et $(x\notin A)$. Soit $b:=g(G)$.
Si $b\in G$ alors il existe un antécédent de $b$ qui ne contient pas $b$ et donc $g$ n'est injective. Donc $b\notin G$.
Mais alors il existe A tel que $g(A)=b$ et $b\notin A$, en l'occurence $b$ et donc $b\in G$, contradiction.
Amicalement
Serge TASSY
De quelle "erreur de logique" penses-tu que les gens seraient menacées?
Il me semble que comme beaucoup, tu confonds peut-être la version 1 avec un raisonnement par l'absurde. Ce n'en est pas une du tout, ce qui fait illusion d'optique c'est l'utilisation (certes très impressionnante) de la tautologie , mais même "tautologie intuitionniste" suivante:
Je reprends avec des couleurs:
1) par définition, G est l'ensemble des x tels que $x\in f(x)$=>$all.you.want$. Qu'il soit vide ou non peu importe.
2) on suppose que $f(a)=G$. On ne fait rien de plus.
3) On sait que $\forall x\in E: x\in f(a)$=>$(x\in f(x)$=>$all.you.want)$
4) En particulier, $a\in f(a)$=>$(a\in f(a)$=>$all.you.want)$
5) Donc (axiome rappelé en *** $a\in f(a)$=>$all.you.want$
6) Donc $a\in f(a)$
7) donc d'après (5) et (6): $all.you.want$
On a seulement supposé (2).
donc sans rien supposer [size=x-small](d'autre que f est une application de E dans P(E) et un "G:=ens des x tels que")[/size], on vient de prouver que $f(a)=G$=>$all.you.want$. Je ne vois pas où tu veux qu'il y ait quelque chose ci-dessus qui serait invalidé par des histoires d'ensemble vide.
Si f est une application de E dans P(E) alors l'ensemble G des x de E qui n'appartiennent pas à leur image n'a pas d'antécédent.
Corollaire: Aucune telle application ne peut être surjective.
Soit a un antécédent de G .
Si a appartient à G alors il n'appartient pas à f(a) qui est G ; contradiction .
Mais si a n'appartient pas à G qui est f(a) alors il appartient à G ; recontradiction .
Donc G n'a pas d'antécédent .
Cordialement
Serge TASSY
L'enseignement absolument crucial qu'il faut retenir de ce résultat maintenant célèbre, classique et ancien est le suivant, si on veut le mettre en perspective dans la démarche générale de la science: il utilise de façon incontournable l'axiome logique (que j'ai deja centré cidessus)
qui apparait certes comme une "évidence", mais qui en fait est un noeud dans la démarche scientifique générale, puisqu'il catalyse énormément les failblesses de l'informalité ou de la temporalité des énoncés scientifiques. Présentement, cette faiblesse n'est pas vitale parce que les maths sont atemporelles et absolues, mais, par exemple, en physique, le fait de réutiliser plusieurs fois une hypothèse faite une seule fois est sensible dans des contextes où on utilise des "faits" dans une théorie non explicitée, ou dans une théorie contradictoire. Un exemple très simple, et très classique est la preuve "par récurrence" que tout le monde est pauvre, via l'argument "(gagner n par mois =>être pauvre)=>(gagner n+1 par mois=>être pauvre)"