Confusion : notation des fonctions
Titre initial Confusion dans les fonctions à résoudre pour la rentrée !
[Tu as tous le corps du message pour indiquer tes contraintes. AD]
Bonjour à tous
Je passe en 1ère S et j'ai une question toute bête mais qui me tracasse ^^.
Quand on écrit par exemple f(x), on parle de l'image de la fonction ou du nom de la fonction (c'est-à-dire la fonction "x") ?
Toujours avec la question d'avant, dans ce cas f(x) = 2x + 3, qu'est-ce que le f(x) ? La même chose qu'avant ?
Merci d'avance pour vos réponses ! Éclairez-moi s'il vous plaît
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Bonjour à tous
Je passe en 1ère S et j'ai une question toute bête mais qui me tracasse ^^.
Quand on écrit par exemple f(x), on parle de l'image de la fonction ou du nom de la fonction (c'est-à-dire la fonction "x") ?
Toujours avec la question d'avant, dans ce cas f(x) = 2x + 3, qu'est-ce que le f(x) ? La même chose qu'avant ?
Merci d'avance pour vos réponses ! Éclairez-moi s'il vous plaît
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Réponses
Tu demandes des précisions et c'est très bien, c'est que tu cherches à comprendre. Tu ne seras pas beaucoup aidé officiellement car il n'existe pas de définition officielle d'une fonction pour l'inspection.
Effectivement, lorsque tu écris $f(x) = 2x + 3$, les deux membres de l'égalité désignent la même chose, en l'occurrence le même nombre réel. Ceci répond à ta première question, $f(x)$ est un nombre, c'est l'image du nombre $x$ par la fonction.
Quelle fonction ? Par la fonction qui s'appelle $f$.
amicalement,
e.v.
Pour rester précis, on ne résout pas une fonction. On résout un problème, ou une équation qui est un cas particulier de problème. On définit, on détermine une fonction. Mais la plupart du temps on fait joujou avec.
La fonction est $f$. Quand on écrit $f(x)$ il s'agit de l'image du nombre $x$ par $f$. Il faut dire la fonction "sinus" ou "exponentielle" et jamais la fonction $sin(x)$.
C'est une réponse adaptée à la classe de première...pour bien faire, dans la définition d'une fonction $f$ il devrait y avoir aussi un domaine de définition et un ensemble d'arrivée... mais n'allons pas trop loin...
Pour ta dernière question, on devrait dire: soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ réel par $f(x)=2x+3$. Ceci signifie que, par exemple, $f(1)=2\times 1+3=5$.
S'il ne s'agit que de t'aider "officiellement", si ça reste possible. "Pédagogiquement"? l'avis général est que c'est autre chose.
En fait le mot "fonction" est juste une façon imagée de parler de choses que tu peux comprendre qui sont des objets mathématiques simples. J'abuse juste un tout petit peu, ci-dessous, en parlant de courbes alors qu'officiellement, il ne faudrait pas parler du plan mais d'un truc qui s'appelle $\R^2$, mais j'ai la flemme de t'écrire un cours complet.
T'as déjà vu des courbes dessinées dans le plan*** j'imagine, par exemple des droites, ou des cercles, etc. Chaque courbe est un ensemble de points.
Quand un ensemble de points ne rencontre aucune droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) en plus de un point, on dit que c'est une courbe de fonction
Par exemple un cercle ou un carré n'est pas une courbe de fonction car il y a des droites verticales qui les croisent en 2 points (et non pas zéro ou un).
Par contre l'ensemble A des points qui peuvent dire sans mentir "mon ordonnée = 2 fois mon abscisse + 3" est une courbe de fonction. C'est la courbe de la fonction f de ton premier post.
Comme "courbe de fonction" c'est long à écrire, les matheux disent directement "fonction", ça va plus vite.
De plus, l'intérêt qu'une courbe d'une fonction c'est que quand tu connais l'abscisse d'un point qui est dessus, il n'y a aucune ambiguité sur son ordonnée, il n'y a qu'une seule possibilité. Par exemple, ta courbe A si on sait qu'un point a une abscisse 7 et est dessus, on est sûr que son ordonnée ne peut être que 2 fois 7 + 3, cadire 17
Du coup, si w est un nombre, et g est une fonction, on a inventé une façon courte d'écrire la chose suivante qui est très longue à écrire: ordonnée du point qui est sur g et qui a comme abscisse w
On abrège en le notant "g(w)" et à l'oral on prononce "gé de doublevé". Le nom sérieux est "image du nombre w par la fonction g"
Si tu entres en première S, en général tu as déjà par exemple étudié la courbe suivante: ensemble des points qui peuvent dire sans mentir "mon ordonnée est le carré de mon abscisse"
Cette courbe est une parabole et on l'appelle pour faire joli "la courbe de la fonction carré".
Voilà, c'est tout, sois patient dans la lecture de mon français, qui n'est pas forcément évident.
Je te prends un exemple: dans les très mauvais livres ou cahiers du lycée tu liras souvent des trucs du genre:
"soit f définie par f(x)=x²-4"
C'est très mal dit, mais par flemme ça arrange les gens de le dire comme ça. En fait, ce début de consigne veut dire:
Prenons l'ensemble des points qui peuvent dire sans mentir "mon ordonnée = (mon abscisse)²-4" et appelons-le (enfin appelons "la fonction" ) f.
Après, si on te demande par exemple f(5) et bien si tu te fies bien à ce que je t'ai dit ci-dessus, c'est officiellement:
l'ordonnée du point de f dont l'abscisse est 5". Or quel est le seul point qui peut dire "mon ordonnée = 5²-4"?
Et bien c'est 21
Conclusion :
l'ordonnée du point de f dont l'abscisse est 5" [size=large]= 21[/size]
et comme f(5) est juste l'abréviation de [size=x-small]"l'ordonnée du point de f dont l'abscisse est 5"[/size]
c'est donc que f(5) = 21
(Attention: ne te fies pas trop à ce que te diront certains autres dans ce fil. Ou du moins ne t'y fies qu'après avoir fait l'effort de bien avoir enregistré cet "officiel" qui doit prévaloir sur toutes les petites recettes qui tu pourrais ensuite adopter pour aller un plus vite. Et pardon aux autres pour ce procès d'intention )
*** j'ai supposé que le plan est toujours muni d'un repère orthonormé.
1/ Mais écrire f(x) = 2x + 3 est la même chose qu'écrire y= 2x + 3 ?
Le nom de mon sujet n'était pas très clair, quand je disais "...à résoudre pour la rentré" c'était ma confusion, pas la fonction !
2/ Pour résumer et voir si j'ai bien compris, f(x) est l'image pour tout réel x par la fonction f ?
f est donc le nom de la fonction ET x est un réel.
3/ Cependant la forme f(x) = 2x + 3 reste confuse car je ne comprend pas exactement pourquoi le "x" de f(x) se trouve dans "2x + 3" ?
Je ne dois pas être très clair sur ma troisième interrogation mais je vous pris de me répondre,
Merci de nouveau (Christophe Chalons je pense que vous n'étiez pas obligé de tant écrire parce qu'il y a des choses qui me semblent pas très en rapport avec ma question, ne le prenez pas mal, je vous remercie par ailleurs !)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,671194,671577#msg-671577
Dire que $f(x)=2x+3$ signifie que $f$ est le procédé qui consiste à multiplier par 2 et ensuite ajouter 3.
Si $x$ est le nombre en entrée, alors $f(x)$ est le nombre en sortie, appelé l'image par $f$ de $x$.
On a de même $f(2)=7$, $f(3)=9$, $f(y)=2y+3$, $f(\xi)=2\xi+3$, $f(\sqrt{\omega^\zeta})=2\sqrt{\omega^\zeta}+3$, $f(\mbox{schtroumpf})=2\mbox{schtroumpf}+3$.
il y a des quantificateurs a mettre pour que les choses aient un sens sinon elles n en ont pas
c est pourquoi j ai utilise les mots abscisse et ordonnee en toutes lettres etc
ton 1 ne veut rien dire de precis a cause du statut de x et de y
ok pour ton 2
ton 3 souffre du meme defaut que ton 1
je reponds a ton 3 dans le paragrapbe ou je parles des tres mauvais livres a peu pres au milieu du post
En effet une équation de la courbe représentative de ta fonction $f$ est $y=f(x)$. Comme tu as $f(x) = 2x+3$ tu as donc $y = 2x+3$ comme équation de la courbe représentative de ta fonction $f$. Cette dernière est une droite par ailleurs.
Donc écrire $f(x) = 2x + 3$ n'est pas la même chose qu'écrire $y= 2x + 3$. Dans le premier cas tu définis une fonction (objet algébrique), dans le deuxième tu écris une équation de la courbe (objet géométrique).
On peut passer facilement de l'une à l'autre de ces deux écritures. À tel point que la confusion ne me semble pas très grave.
amicalement,
e.v.
Christophe t'a présenté la notion actuelle de fonction, très globale et très fixe. Je vais te présenter la notion apparue historiquement, et très utilisée par les physiciens à petit niveau :
Il arrive qu'un nombre, notons le y, varie. Si on peut régler sa variation par les variations d'un autre nombre, disons x, de façon que connaissant x on puisse savoir parfaitement quelle est la valeur de y, comme y varie "en fonction de x", on dit que la correspondance $x \to y$ est une fonction. Notons-la f. On a pris l'habitude d'écrire y=f(x) pour noter cette situation. Mais où est la fonction ? Pas dans y, c'est l'un des deux nombres variables. Pas dans f(x), c'est exactement y (c'est ce que signifie le =, il dit que y et f(x) sont deux dénominations de la même chose). La fonction est dans le passage de x à f(x), que l'on concrétise maintenant par l'ensemble des couples (x,f(x)) pour toutes les valeurs de x possible.
Si tu compares avec l'explication de Christophe, tu retrouve ce qu'il a dit. Mais aussi l'explication de JLT, qui n'est différente que par une différence de présentation.
Dernière chose : Quand on va un peu vite, on dit "la fonction $x^2-3$ pour abréger les termes corrects comme "la fonction qui à x associe $x^2-3$". mais c'est à comprendre clairement : On n'a écrit que l'image de x, en supposant comme d'habitude qu'on utilise x comme antécédent.
Cordialement.
1) c'est assez d'écrire ensemble des points qui peuvent dire sans mentir "mon ordonnée = 2 fois mon abscisse +3"
Pour raccourcir, on a mis en place une convention qui dit abrège en écrivant "ordonnée = 2 abscisse +3"
Mais même ça, c'est encore trop long à écrire.
On a donc posé une convention (qui n'est valable que dans ce cas là et qui est EXCEPTIONNELLE) où on remplace juste le mot abscisse par la LETTRE x et le mot ordonnée par la LETTRE y (j'insiste ce ne sont que DES LETTRES, elles ne désignent rien du tout)
Et l'abréviation devient "y=2x+3" qui est très court à écrire.
Autre exemple, si on dit "la courbe y=x²" c'est l'abréviation de la longue ensemble des points qui peuvent dire sans mentir "mon ordonnée=mon abscisse au carré"
Mais de toute façon, la fonction $f: x\mapsto 2x+3$ c'est la même chose que sa courbe en fait, simplement les matheux (plutôt les pédagos) font une distinction un peu pour le fun. tout bêtement parce que quand on parle de fonction, on utilise des mots comme "transforme" etc, question d'habitude.
Par contre "f(x)=2x+3" ne veut rien dire de précis officiellement en maths. Alors plein de gens considèrent que c'est l'abréviation de:
pour tout x, f(x)=2x+3
mais d'autres se diront que x est un nombre et f une fonction et qu'il se trouve que l'image de ce x là est 2x+3, donc ça prête à confusion.
En bref c'est mal fait, ou plutot les gens parlent mal.
Par exemple si tu prends la fonction carrée (que je note f) et si x=4 alors f(x)=3x+4. Et pourtant f n'a rien à voir avec la fonction qui transforme chaque nombre toto en 3 fois toto + 4.
Le "pour tout" est donc TRES IMPORTANT.
La convention qu'utilise ev quand elle se réfère à la convention que "x" désigne le mot abscisse et "y" le mot ordonnée est très locale (elle est utilisée juste au lycée, parce que les enseignants pensent à leur programme, etc), mais il vaudrait mieux NE PAS l'utiliser et "laisser les lettres tranquille"
Je ne connaissais pas ce forum et j'en suis très satisfait, je n'hésiterai pas à revenir !
Amicalement
-- Schnoebelen, Philippe
Je sais que vous m'avez déjà répondu à ce propos mais je voudrai une réponse moins longue car toutes les réponses données (je ne vais pas m'en plaindre) m'embrouille un peu, sachant que chaque personne a ses "propres écritures"
Cordialement,
-- Schnoebelen, Philippe
Donc le x du 2x+3 représente la même chose que le x dans f(x).
Et c'est la même fonction que l'on définit par f(t)=2t+3, ou encore par f(machin)=2 machin +3.
Si tu as f(x)=2x+3, tu peux calculer f(5) (c'est 2*5+3) ou f(-2) (=2*(-2)+3).
Cordialement.
NB : Si tu as encore des incompréhensions ou des doutes, reviens poser tes questions, le forum est très patient.
Evidemment, toutes les fonctions ne sont pas définies par des formules explicites, mais bon. Edit : surtout que je n'ai pas défini ce qu'explicite veut dire...
a declic: la difficulte ici est que tu essaies d obtenir de s reponses semantiques et incarnees a des questions de grammaire
par exemple quand tu prends la fonction carree 4est un antecedent de 16 et il n y a rien de plus dire en fait
l utilisation des lettres est une simple commodite pour abreger et parler comme je te l ai dit a mon post
dans cette commodite la lettre x est utilisee comme ce qu on appelle une.variable liee on dit aussi muette, autrement dit c est vraie lettre, ce n est pas une valeur ou un nombre ou je ne sais quoi qui varie, meme si poetiquement l imagination des gems aime faire comme si
comme je te l ai dit ce sont les tres mauvais livres ou cours qui ecrivent f(x)=2x+3 pour decrire la fonction f
la bonne facon si on tient a utiliser une lettre est le sigle :
$f:x\mapsto 2x+3$
qui abrege juste la description :
f est la fonction dont la courbe est l ensemble des points qui peuvent dire "mon ordonnee = mon abscisse fois 2 + 3"
qui est long a ecrire
tu risques.donc d aller dans une impasse si tu attribues une sorte de vie au "x" de.la.description
olala de mon tel cest pas facile d en taper long
Oui et non. Formellement, tu as raison. Mais dans la pratique quotidienne, ce n'est pas comme ça que l'on se représente intérieurement une fonction, mais bien en faisant vivre la variable comme tu dis. En tout cas, en analyse ça me paraît clair (j'espère que Greg ne rôde pas dans le coin). Par ailleurs, n'oublions pas Déclicmath entre en 1ère. Je ne suis pas certain que la définition formelle soit celle qui soit la plus appropriée à ce niveau là. Mais qu'il soit informé qu'il existe une définition plus formelle sans aucune ambiguité et qu'il la verra (peut-être) plus tard n'est pas mauvais.
Quoi qu'il en soit, je te remercie de ne pas m'avoir sommairement aligné. -D
La machine est déterministe: si tu lui fournis deux fois la même valeur en entrée, en sortie tu obtiendras deux fois la même valeur aussi Ce qui fait que la notation f(x) est cohérente, pour obtenir la valeur f(x) en sortie il suffit de fournir la valeur x à la machine.
Mais attention, on peut obtenir le même nombre en sortie même si on n'a pas nourrit la machine avec les même nombres (exemple: la fonction x->x² que se passe-t-il si on fait passer -2 et 2, par exemple, dans la machine?)
Ce qui fait qu'on peut avoir f(x')=f(x) sans que x soit égal à x'.
Un nombre n'a qu'une seul image par f, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents par f.
A propos de la différence entre une équation et une fonction: dans le plan muni d'un repère, l'équation "x=1" est celle d'une droite mais cette droite ne peut pas être la représentation graphique d'une fonction qui associe à x (nombre à prendre sur " l'axe des x") une unique valeur y sur "l'axe des y".
Cordialement
Initialement j'aurais plutôt parier qu'il pose des questions de grammaire.
C'est le débat auquel j'ai souvent participé sur le forum "murs officiels du labyrinthe" (à l'aune desquels sont évalués les textes) vs "témoignages des bons sportifs des chemins qu'ils aiment prendre"
En fait, l'exhibition des chemins ne permet pas de déduire les murs dans le cas présent, d'autant qu'au niveau rédaction d'un texte par un lycéen dans une épreuve, il n'y a pas de liens entre l'intuition et ce qu'il est autorisé d'écrire pour recevoir le tampon. Il n'existe pas de textes valides (même avec tolérance) dans lesquels le "x" vit.
En plus, c'est un peu vache parce que seuls les enseignants, les auteurs d'exams "s'autorisent" des abus de langage alors qu'il faut savoir qu'ils ne les autorisent pas aux textes qu'ils corrigent: exemple deux collègues ne s'embarasseront pas de parler de "la fonction x²-1" à une table de café mais s'agaceront de le lire dans une copie de morveux.
Il me semble donc nécessaire pour un débutant, quitte à souffrir un peu, qu'il enregistre d'abord la regle de grammaire officielle puis dans un deuxième temps s'invente des tuyaux perso, éventuellement récupérés auprès de témoignages de "sportifs", pour accélérer ou poétiser ses inspirations
Par ailleurs (c'est autre chose) il faut faire attention: inconsciemment l'axiome d'extensionnalité*** est très présent dans les maths lycéennes mais jamais explicitement énoncé. La fonction vue comme "machine" entre en conflit avec cet axiome et peut-êter au niveaux cognitifs les plus enfouis
*** [$\forall x\in E: f(x)=g(x)$] => $f=g$
bon le post auquel il te faut "officiellement" te référer en cas d'ambiguité est http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,692872,692892#msg-692892
1) Une fonction EST EGALE à SA COURBE
2) au niveau "pédago" il est vrai que les gens aiment faire une différence verbale, mais aucun exercice, texte ou quoique ce soit d'autre ne fait de distinction mathématique donc rien à craindre à les considérer comme égales
3) Quand un point de coordonnée (a,b) est sur la courbe de la fonction f, on dit que b est l'image de a par f et il est noté f(a) et on dit que a est un antécédent de b par f (et il n'y a pas de notations parce qu'il peut y avoir plusieurs antécédents d'un même nombre)
4) la description d'une courbe ou d'une fonction (ce qui revient au même) se fait avec une petite flèche $\mapsto $ pour plus de commodité, et auquel cas on utilise une lettre (qui garde son rôle de lettre!!!!!) pour décrire l'éventuel "calcul" qui permet de passer des abscisses des points de la courbe à leurs ordonnées (par exemple le code $x\mapsto 4x^3$ signifie qu'on parle de la courbe constituée des points qui peuvent dire sans mentir "mon ordonnée = 4 fois mon abscisse à la puissance 3". Il y a beaucoup de tels points et c'est entre autre ce qiu fait que la lettre "x" du code n'a pas pour mission de désigner quelque chose à elle seule, car une règle d'or des maths c'est qu'un nom ne peut désigner qu'un seul objet
5) la notation f(toto) est simplement une abréviation qui abrége ordonnée du point de la courbe de f dont l'abscisse est toto
6) après effectivement comme te l'ont dit les autres, du fait qu'on peut dire "DU point" dans (5), les gens ont pris l'habitude de traiter les fonctions d'une manière spécifique par rapport aux ensembles de points quelconques comme les cercles les carrés, etc et développent toute une "poésie" autour de ça qui accélère leur intuition. Mais ça ne modifie pas les regles de validité des textes (ie de comment sont corrigés les examens, etc, quand il y a des fonctions dans l'exercice)
@ Declicmath : tu poses d'excellentes questions. La prose de Christophe y répond. Mais les réponses ne sont au programme. Il y a derrière les fonctions des non-dits (les ensembles, les éléments, etc.) qui ne doivent pas être évoqués au lycée. Christophe pense qu'il faut absolument en parler. Je serais un peu moins catégorique.
Pour ma part je te conseillerais de rester attentif à ce genre de problèmes mais pas nécessairement de t'y plonger à corps perdu. Les réponses précises peuvent aussi venir et être assimilées plus tard.
amicalement,
e.v.
-si tu es sûr à 100% de ce que tu racontes ou lis, no problem, pas besoin de lire mes posts
-si un jour tu rencontres une ambiguité tu la dissipes en relisant "les regles du jeu officielles" décrites dans mes posts
- ils ne permettent pas, ayant compris une question (donc pas de problème de grammaire ou de forme) de trouver une "intuition" permettant d'y répondre par un texte valide. Ils ne permettent que de vérifier la validité de la réponse.
soit a et b deux nombres réels.
soit f la fonction $c\mapsto (a+c)b+a$
soit g la fonction $t\mapsto bt^2$
on suppose que f=g
prouve que $a^2 + b^2=0$
Si tu le réussis, tout baigne (ta preuve doit vraiment être irréfutable), sinon, ne demande surtout pas la correction et considère-le comme un défi significatif dans le temps. Tu n'en recontreras pas souvent d'aussi simples et grammaticaux, donc si tu te le fais corriger par quelqu'un, tu gacheras l'occasion d'avoir un "compteur" qui t'indique si tu as décliqué ou pes ces regles de grammaire
Je n'arrive pas à faire ton exercice...
amicalement,
e.v.
Mais bon, la forme sous laquelle il est posé est sournoise.
Et la carte est le territoire? ::o
J'aime bien l'exo de Christophe :)o
Non, mais surtout ne te le fais corriger par personne et ne demande aucune aide. C'est comment dire, comme dans le vieux feuilleton "Kung fu", la réplique "le jour où tu attraperas cette pierre..." (faudrait mettre un lien)
En fait, le jour où tu y arriveras ça voudra dire que tu parles couramment le langage mathématique (comme bcp de gens ici même si certains ont un accent) et donc que tout ira bien pour toi, ie que tu n'auras plus de problème qu'avec des questions difficiles de maths où la difficulté est mathématique et profonde sur le fond. Dans cet exo, il n'y a (presque) rien sur le fond, je t'ai juste demandé "quelle est la couleur du cheval blanc d'Henri 4" en langage math, et ta difficulté à le faire est que c'est comme si je te l'avais demandé en chinois. Donc pour l'instant tu en es encore au stade où tu lis des maths en langue étrangère et doit spéculer de manière impressionniste sur ce que ça raconte. C'est donc un bon test pour que tu puisses d'évaluer au cours de tes études futures.
à remarque entièrement d'accord, car tu parles chinois
f(t)=g(t) implique f(0)=g(0) et f(-1)=g(-1) et il me semble que ces deux égalités permettent de conclure.
@christophe exclusivement (pour ne pas troubler Declicmath)
Quitte à chipoter, je ne suis pas d'accord avec ton écriture
***$ (\forall x\in E)(f(x)=g(x))\Longrightarrow f=g$
Pour avoir l'égalité de deux fonctions il faut aussi préciser l'ensemble d'arrivée... Les fonctions $f:\R\to\R\quad x\mapsto f(x)=x^2$ et $g:\R\to [0,+\infty[\quad x\mapsto g(x)=x^2$ ne sont pas égales... même qu'il n'y en a qu'une qui est surjective...
tu es en train de relancer un débat qui a déjà eu lieu.
Comme Christophe définit la fonction comme une partie de $E\times F$, il n'y a qu'un seul "ensemble d'arrivée" : $F$.
C'est quand on définit f comme un procédé qu'il faut faire attention.
Cordialement.
à déclic: oui bien sûr tout ce qui t'est personnel (cours, livres), mais je doute que la grammaire soit exposée en bcp d'endroit. Tu es vraiment face à un problème de langage