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Pythagore au collège/lycée

Envoyé par RB 
RB
Pythagore au collège/lycée
il y a dix années
Bonjour,

Je cherche à faire une "liste" d'exercices/problèmes résolvables par l'utilisation du théorème de Pythagore et qui puissent être donnés à des élèves de collège (niveau 4ème-3ème) et éventuellement lycée.

Je recherche des "choses" qui sortent un peu de l'ordinaire - des applications auxquelles on ne pensent pas forcement ...

J'attends toutes vos suggestions.
Par avance, je vous en remercie.
@+
R.B
Bonjour,

Tu peux trouver des idées sur Chronomath (Pythagore, en bas de page). Quant à dire que certaines soient originales, ça dépend beaucoup de tes présupposés, il est possible que tu puisses en trouver qui t'intéressent.
Amicalement.
Félix
Un exo intéressant, car on peut traiter la question par de nombreux moyens (angles, géométrie analytique, théorème de Pythagore et longueurs sur un segment, même surface d'un triangle):
On considère un carré ABCD de 8 de côté. On prolonge AB d'un segment BE de longueur 5, et AD d'un segment DF de 13 de long (Donc AE = 13 et AF = 21). Les points E,F et C sont - ils alignés.
Les élèves répondent d'abord oui, puis la mise en preuve donne le résultat. On a aussi ici une bonne introduction à la preuve par l'absurde. Le seul problème est l'utilisation indue du théorème de Thales).
Rebonjour,

Je pense qu'une idée intéressante serait d'expliquer la situation en Egypte pendant l'antiquité : chaque année, les crues du Nil venaient fertiliser la terre en déposant une couche de limon. Mais, le Nil étant rentré dans son lit, toute trace de cadastre avait disparu et il fallait arpenter pour reconstruire des parcelles et les réattribuer à chacun, en fonction de la superficie qu'il possédait avant la crue.
Expérimentalement, ils avaient constaté la vérité de Pythagore, avant lui et sans la formaliser, et ils fabriquaient des cordes avec 12 noeuds, à intervalles constants. Cela permettait de construire un triangle rectangle 3-4-5.
Démarche : prouver que si on fixe l'origine de la corde, un homme au 3ème noeud, un au 7ème, un à la fin de la corde, on tend l'ensemble, on fait un angle très grossièrement droit au point 3, un angle un peu inférieur au point 7, et le dernier homme revient à l'origine, on obtient ainsi un triangle rectangle, d'aire connue.
On peut mettre un piquet aux extrêmités de l'hypoténuse, y fixer les points 3 et 7, faire rejoindre les extrêmités de la corde, et l'on a ainsi un second triangle rectangle, égal au premier, et qui permet de compléter un rectangle de côtés 3 et 4.
De proche en proche, on cadastre ainsi toute la surface.
On peut considérer le triangle, ou le rectangle, comme unité pour l'attribution des parcelles.
N'étant pas enseignant, je n'ai jamais testé cette idée, mais je pense que son côté à la fois ludique et instructif (y compris dans son aspect historique) devrait aider les élèves à mieux assimiler le théorème, et surtout à ne pas le considérer comme quelque chose d'imposé, rébarbatif et inutile.
Amicalement.
Félix
Juste une remarque Félix : le nombre de piquets étant celui des intervalles augmenté de 1, on peut penser que la corde avait 13 noeuds.

Bruno
Au fait, voir mon sujet \lien{[www.les-mathematiques.net]}
La première question est sur les angles et la deuxième (rapport des aires) peut se faire avec Pythagore : dans BDE on considère la hauteur relative à B, appelons F son pied. Dans BDF on connait deux côtés en fonction de DC on exprime le troisième. Puis idem dans BCF et on chope BC/BD ce qui permet de conclure.

Je sais pas si c'est original mais j'avais pas vraiment pensé à ça tout de suite en voyant l'énoncé...

Manu.
<!--latex-->lire : <a href=" [www.les-mathematiques.net]; [www.les-mathematiques.net]; avec mes excuses<BR>
Bonjour,

MERCi à vous tous (Gérard, Félix, Bruno, Manuel) pour vos réponses.
Je vais cogiter ça de plus près.
@ bientôt
R.B


PS: Bruno, toujours fidèle au poste winking smiley)
Oui Bruno, j'ai vu après envoi, mais je me suis dit que vous corrigeriez seuls et qu'il était inutile de rectifier. Merci.
Pour Manu : donc tu as trouvé la solution pour ton triangle.
Hier soir (je n'ai pas internet chez moi pour l'instant, seulement au travail) j'ai trouvé une solution avec des triangles semblables, donc niveau collège (et même école primaire, je pense) sans tracé supplémentaire. Inutile d'y revenir si tu as trouvé.
Amitiés.
Félix
Pour Félix : si, si, je veux bien voir ta solution, car la mienne passe par Pythagore et/ou trigo, alors que l'exo est dans le chapitre "triangles semblables" donc ta solution me parait plus appropriée.
Je vais sur ton post.
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