Problèmes 1er S

Non mais t''inquiete, ev avait deviné l'intention de l'auteur de l'exo...

Mais c'est un exo informel en 1S.

Il est attendu que tu dises sans le justifier "moi laquille, je postule philosophiquement*** que [size=large]a=2+15/a[/size]" et après avoir fait cet audacieux pari qui montre que t'es un homme (ou une fille) qui en a, que tu cherches les solutions de l'équation x=2+15/x

*** maintenant quel texte serais-tu prêt à écrire pour défendre ta position? D'ailleurs as-tu envie de la postuler?

Bon, c'est quoi ?
$a = 2 + \dfrac{15}{2 + \dfrac{15}{2 + \dfrac{15}{2+\ldots}}}$

ou
$a = \dfrac{15}{2 + \dfrac{15}{2 + \dfrac{15}{2+\ldots}}}$ ?

e.v.

Pour les fractions tu tapes \verb+ \dfrac{num}{deno} \verb+ et tu coches la case LaTeX.

à ev: tu devrais mettre des couleurs, je crois que le latex du forum le permet

Donc lorsque tu regardes ce qu'il y a sous le premier trait de fraction, au-dessous du $15$ le plus haut, tu vois quoi ? hum ?

e.v.

@ Christophe J'ai un moniteur noir et vert.

Bah non, je recommence

$a = 2 + \dfrac{15}{{\red2 + \dfrac{15}{2 + \dfrac{15}{2+\ldots}}}}$

Lorsque tu regardes ce qu'il y a sous le premier trait de fraction, au-dessous du $ 15$ le plus haut, tu vois quoi ? hum ?

@ Christophe T'avais pas complètement tort sais-tu

e.v.

Et c'est quoi son p'tit nom à ce que j'ai noté en rouge ? Tu remarqueras que ce n'est pas simplement $15$.

e.v.

Eh ben, tu vois.

Maintenant, remonte voir mon premier message, histoire de rire.

e.v.

Bon, il y a quand même une embrouille la-dessous.

Pour faire bref, SI $a$ existe ALORS il est solution de cette équation à deux balles. (et il est positif, sans blague)

Mais rien ne prouve que $a$ existe. Autrement dit, qu'est-ce qui nous dit qu'en répétant ces opérations :
diviser $15$ par le nombre et rajouter $2$, on définisse bien un nombre. (le nombre de départ étant disons $2$ si tu veux faire chauffer ta calculette). Bref est-ce que tu vas obtenir des nombres de plus en plus grand à partir du $42$ième rang, si grands qu'il vont transformer ta calculette en beignet, ou je ne sais quoi.

Tu poseras la question à ton prof, hein ? dis ! dis !

e.v.

Bonjour Christophe,

Dire que $a$ existe c'est dire que ta suite $(a_n)$ est convergente, ergo\ldots

amicalement,

e.v.

Pour info (hors-lycée), la fonction $x\mapsto 2+15/x$ est telle que $\forall x\in [2,100]: f(x)\in [2,100]$ et continue sur $[2,100]$ (enfin me semble-t-il à vue de nez) et l'ensemble E des suites $u\in \R^\N$ telles que $\forall n\in \N: u(n) = f(u(n+1))$ est non vide. D'où la question de savoir qui est $S:=\{y\in \R/\exists u\in E: y=u(1)\}$, en particulier, est-ce que c'est un singleton?

Si toutes les suites $v\in \R^\N$ telles que $\forall n\in \N: v(n+1) = f(v(n))$ (notant F l'ensemble de ces suites) convergent vers une même limite $a$ (*****) alors effectivement il y a des chances pour que S soit le singleton $\{a\}$, mais "et encore!", une condition vraiment suffisante serait que la convergence commune des suites surviennent de manière uniforme, à savoir que:
$\forall e>0\exists N\in \N\forall n\in \N: ( n\geq N$=>$\forall v\in F: v(n)\in ]a-e,a+e[ )$

Dans le cas où il n'y aurait pas cette uniformité, il ne saute pas du tout au yeux que (*****) => S=$\{limite\ commune\}$