Théorème de Thalès

Bonjour, je suis en TS jai une idéé pour ta demonstration:

en fait je crois que le theoreme de Thales est une consequence de quelques proprietes des similitudes ( une similitude est une transformation du plan qui a tout points M,N, P et Q associe les points (respectivement) M',N',P' et Q' tels que MN/PQ=M'N'/P'Q'.
Ainsi la similitude conserve le rapport des longueurs. Cest sans doute le lien avec le theoreme de Thales.

Dis Cecile ca te dirait pas d'aller polluer ailleurs ? Je suis sûr que tu as pleins d'amis à qui envoyer des SMS !!!!

Merci !

Gari.

LOL c vrai Gari ta raison pour Cecile lol g pas compris pk elle a repondu lol dsl mais c trop marrant. mais ton taurais pas du tenerver comme ca. lol

Fredj.

remarque: des phenomenes marrant comme ca on en vois jamais ds les math, c original!

Bonjour.

Décidément, certains ont de l'inspiration à revendre (n'est-ce pas, Aviva ? ;-) ). Je propose ici une modeste contribution de réponse à la question :

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\renewcommand{\vecteur}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}
\underline{Préambule} :
Les propositions utilisées dans la démonstration sont énoncées ci-après. Que le lecteur ne sente pas offensé : ce développement vise simplement à souligner le caractère élémentaire des assertions retenues, de manière à correspondre "à peu près" à l'état des connaissances avant l'exhibition du théorème de Thalès proprement dit.
1/ 2 droites parallèles sont confondues ou disjointes [un des axiomes du plan affine] ;
2/ 3 points distincts A, B et C sont alignés ssi il existe un réel $k$ non nul tel que $\vecteur{AB} = k \vecteur{AC}$ ;
3/ 2 droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi il existe un réel $k$ non nul tel que $\vecteur{AB} = k \vecteur{CD}$ ;
4/ Un point $M$ appartient à une demi-droite $D_{A}$ d'origine $A$ et passant par le point $B$ ssi il existe un réel $k \geq 0$ tel que $\vecteur{AB} = k \vecteur{AM}$ ;
5/ On dira que 2 demi-droites sont parallèles si leurs droites de support sont parallèles. On note que, si leurs supports sont confondus, ou les demi-droites sont confondues, ou elles ont un ensemble en commun (point d'origine ou segment), ou elles sont disjointes.
\renewcommand{\droite}[1]{\overline{#1}}
\underline{Notations} :
On notera $\droite{\Delta}$ la droite qui supporte la demi-droite notée $\Delta$, $(AB)$ la droite passant par les points $A$ et $B$.
De l'énoncé, on appelle $D_1$ et $D_2$ les 2 demi-droites non confondues et de même origine $O$, $D_3$ la demi-droite qui les coupe respectivement en les points $A_1$ et $A_2$, et $D_4$ la parallèle à $D_3$ qui coupe $D_1$ en un seul point $B_1$.

\underline{Démarche} :
On vérifie dans un premier temps que les supports de $D_2$ et $D_4$ sont sécants. Puis on montre que ce point d'intersection est sur les 2 demi-droites.

\underline{Existence d'une intersection entre les supports} :
$D_4$ coupe $D_1$ en un point unique : $B_1$.
Supposons que $ \droite{D_2} \parallel \droite{D_4} $. Il vient : $D_2 \parallel D_4$. Or $ D_4 \parallel D_3 $. Par transitivité, on obtient : $ D_2 \parallel D_3 $, ce qui s'oppose à l'énoncé. Donc $\droite{D_4}$ et $\droite{D_2}$ sont sécantes en un point noté $B_2$.

\underline{Intersection entre les demi-droites supportées} :
Par la relation de Chasles, on écrit que $\vecteur{OB_2} = \vecteur{OB_1} + \vecteur{B_1 B_2}$.
D'une part, $A_1$ et $B_1$ appartiennent à la demi-droite $D_1$ d'origine $O$. Donc $ \exists z \in \R^+ : \vecteur{OB_1} = z \vecteur{OA_1} $. D'autre part, $ \droite{D_3} = (A_1 A_2) \parallel \droite{D_4} = (B_1 B_2) $. Il vient : $ \exists y \in \R^* : \vecteur{B_1 B_2} = y \vecteur{A_1 A_2} $. $y$ se décompose de manière unique en : $y = z + t$ avec $t \in R$. Il s'ensuit que : $ \vecteur{B_1 B_2} = (z+t) \vecteur{A_1 A_2} $. De plus, les points $O$, $A_2$ et $B_2$ appartiennent à la droite $\droite{D_2}$. Donc $\exists u \in \R^* : \vecteur{OB_2} = u \vecteur{OA_2}$.
Par substitution dans l'expression de $\vecteur{OB_2}$, il découle : $ u \vecteur{OA_2} = z \vecteur{OA_2} + t \vecteur{A_1 A_2}$ ou encore : $ (u-z) \vecteur{OA_2} = t \vecteur{A_1 A_2}$. Or $O \not\in \droite{D_3}$ ce qui signifie que $O$, $A_1$ et $A_2$ ne sont pas alignés. Donc on a : $ t = 0 $ et $ u = z $. Notamment : $ u \geq 0 $. Par définition des points d'une demi-droite et à partir de l'expression $\vecteur{OB_2} = u \vecteur{OA_2}$, on déduit que $B_2$ est sur la demi-droite d'origine $O$ et passant par $A_2$, soit $D_2$.
Donc $ D_2 $ et $ D_4 $ se coupent en un unique point.

\underline{Rapport des mesures algébriques} :
Par rapport à la question originelle :

>
\renewcommand{\mesure}[1]{\droite{#1}}
Posons : $A \mapsto A_1, A' \mapsto A_2, B \mapsto B_1, B' \mapsto B_2 $ et $O$ invariant.
On a donc établi que $ \vecteur{OB_2} = z \vecteur{OA_2} $ et $ \vecteur{OB_1} = z \vecteur{OA_1} $. D'une part, on confirme que les points sont alignés dans le même ordre sur les (demi-)droites ; d'autre part, le passage aux mesures algébriques nous conduit immédiatement à : $ z = \frac{\mesure{OB_2}}{\mesure{OA_2}} = \frac{\mesure{OB_1}}{\mesure{OA_1}} $.

J'ose espérer que ce développement correspond au moins en partie à une réponse aux questions posées lors de ce fil de discussion. Dans le cas contraire, ou en cas de trivialités qui auraient choqué certains, je m'en excuse.
Bien cordialement.

[Pour Aviva : "d4 coupe le plan en 2 régions. La une contient nos 2 demi-droites, l'autre pas."
Pourquoi ?]

Et bien, d4 est sécante avec d1 en O. Or, d1 est une demi-droite. Si elle est à la fois d'un côté et de l'autre, tu en déduis une contradiction: elle est parallele à d4.
Idem pour d1. AInsi, d1 est entièrement d'un côté de d4, de même pour d2.
Sont-elles du même côté? Si l'on suppose que ce n'est pas le cas, notre droite d3, parallèle à d4, est d'un côté ou de l'autre de d4, et donc ne couperait qu'une seule des 2 droites! Contradiction.

Ouffffff.... C'est tendu d'être rigoureux

Sinon je suis impressionné par la longueur de ton post, NHA!

Non non, nos réponses mettent bien en évidence que, justement ce qui est évident est parfois difficile à formaliser!
(même si je pense que nous ne sommes pas allés au plus court, la difficulté d'exprimer rigoureusement notre intuition est manifeste! Exercice intéressant en fait...)

Bonne journée

Bonjour à tous,

J'avoue ne pas avoir encore étudié vos contributions.
Je regarderai Euclide demain.
Je pense qu'on peut trouver une bonne présentation du théorème, avec des attaques selon divers angles (dont une vectorielle) dans l'excellent Maths Lycée de Deledicq, éd. de la Cité (autour des pages 100 ou 105).
Si je constate demain que je peux apporter une petite pierre à la discussion, je le ferai lundi matin.
Amitiés.

Félix

Bonjour Eric,

Voici ce que m'a inspiré ton problème ce dimanche, en relisant la bible (les éléments). C'est beaucoup moins propre que par Aviva et NHA (je ne suis ni prof ni élève depuis longtemps, j'ai donc beaucoup perdu au niveau rigueur).
Amitiés.
Félix

Bonsoir.
Félicitations pour votre magnifique exposé joint, Félix ;-) . La partie IV m'a en particulier convaincu :-).
Une petite remarque d'ordre "technique" : votre pièce jointe sur le théorème de Thalès n'est malheureusement pas affichable sous Mozilla... le code indiquerait qu'elle a été créée à partir de MS Word et est structurée en XML. De mon côté, un butineur MS IE récent, avec la gestion des objets MS Office, permet d'y rémédier. Quid des autres lecteurs ? mais je m'égare ! lol
Bien amicalement.

Bonjour à tous.

Félicitations en effet à Félix pour son exposé (tiré de la traductrion de Peyrard, si je ne me trompe pas ; au passge, le 6ème postulat dusparait car depuis le travail de Heiberg de 1890/95, on considère que ce 6 ème postulat est une interférence). Je remets un de mes grains de sel.

J'ai de gros ennuis avec la notion de demi-droite et de demi-plan dont je ne parviens pas à me souvenir si elle se trouve réellement dans Euclide, intuitivement, je dirai non. Il me semble est clair que sans ces avoir élucidé ces notions, on peut difficilement faire quelque chose de propre. Maintenant, rappelons qu deux points A et B sont dans un même demi-plan limité par une droite D si, et seulement si le segment [AB] ne coupe pas la droite D.

Reprenons la figure de base : deux demi-droites $[Ox)$ et $[Oy)$ portées par deux droites sécantes en $O$ (donc distinctes) deux points respectivement $A \in [Ox)$ et $B \in [Oy)$ ; par $A' \in [Ox)$ on mène $\Delta \parallel (AB)$ ; elle coupe la droite $(OB)$ en $B'$. Soit $\Delta'$ la droite passant par $O$ et parallèle à $(AB)$ les droites $\Delta$ et $\Delta'$ sont parallèles, {\bf donc} les points $A'$ et $B'$ sont dans le même demi-plan limité par $\Delta'$ et il s'ensuit que le point $B'$ appartient à la demi-droite $[Oy)$.

Bien entendu, il y a tout un travail préalable à faire sur ces trucs de demi-plans et de demi-droites.

Bruno

J'ignore si Eric tu reviendras lire ceci, mais je viens de tomber sur une citation en page d'accueil du site, qui va dans ton sens pour ta remarque sur la construction du triangle équilatéral et l'absence de preuve pour l'intersection des cercles :

"Puisque Euclide a toujours de la popularité et une réputation de rigueur même auprès des mathématiciens, en vertu de quoi on lui pardonne ses circonlocutions et son verbiage, on gagnerait à commencer par relever quelques-unes des erreurs contenues dans ses vingt-six premières propositions. Commençons par la première. Il n'y aucune preuve que les cercles qu'on nous a dit de construire s'intersectent, et s'ils ne le font pas, toute la proposition s'effondre. [...] Quant à la quatrième, il y aurait beaucoup à dire : en fait, la preuve d'Euclide est si mauvaise qu'il aurait mieux fait d'admettre cette proposition comme un axiome."
[Ajouter une citation] [Bertrand Russell][ Principles of mathematics]

Amicalement.
Félix